Moving-average-acf

Moving-average-acf

Profit-from-binary-options-review
Moving-average-mac-excel
Pokemon-online-trading-card-game-token


Mengapa-trade-options-vs-stocks Rompi-date-of-stock-options Sbi-forex-services Quantitative-trading-strategies-in-r Pilihan apa-yang-maksud-untuk-latihan-dan-tahan-saham Worldwide-market-forex-review

Menggunakan R untuk Analisis Seri Waktu Analisis Seri Waktu Buklet ini menjelaskan bagaimana Anda menggunakan perangkat lunak statistik R untuk melakukan beberapa analisis sederhana yang umum dalam menganalisis data deret waktu. Buklet ini mengasumsikan bahwa pembaca memiliki beberapa pengetahuan dasar tentang analisis deret waktu, dan fokus utama dari buklet tersebut bukanlah untuk menjelaskan analisis deret waktu, melainkan untuk menjelaskan bagaimana melakukan analisis ini menggunakan R. Jika Anda baru mengenal deret waktu Analisis, dan ingin belajar lebih banyak tentang konsep apa pun yang disajikan di sini, saya akan sangat merekomendasikan buku Open University 8220Time series8221 (kode produk M24902), tersedia dari Open University Shop. Dalam buklet ini, saya akan menggunakan kumpulan data rangkaian waktu yang telah disediakan oleh Rob Hyndman dalam Time Data Library-nya di robjhyndmanTSDL. Jika Anda menyukai buklet ini, Anda mungkin juga ingin memeriksa buklet saya untuk menggunakan R untuk statistik biomedis, a-little-book-of-r-for-biomedical-statistics.readthedocs.org. Dan buklet saya tentang penggunaan R untuk analisis multivariat, sedikit - buku - untuk - untuk memulai - analisis.readthedocs.org. Reading Time Series Data Hal pertama yang ingin Anda lakukan untuk menganalisis data deret waktu Anda adalah membacanya menjadi R, dan untuk merencanakan deret waktu. Anda dapat membaca data ke R menggunakan fungsi pemindaian (), yang mengasumsikan bahwa data Anda untuk titik waktu berturut-turut ada dalam file teks sederhana dengan satu kolom. Misalnya, file robjhyndmantsdldatamisckings.dat berisi data tentang usia kematian raja-raja berturut-turut Inggris, dimulai dengan William the Conqueror (sumber asli: Hipel dan Mcleod, 1994). Kumpulan data terlihat seperti ini: Hanya beberapa baris pertama dari file yang telah ditunjukkan. Tiga baris pertama berisi beberapa komentar pada data, dan kami ingin mengabaikan hal ini saat kami membaca data ke R. Kita dapat menggunakan ini dengan menggunakan parameter 8220skip8221 dari fungsi pemindaian (), yang menentukan berapa banyak garis di bagian atas File yang harus diabaikan Untuk membaca file ke R, mengabaikan tiga baris pertama, kita mengetik: Dalam hal ini usia kematian 42 raja berturut-turut di Inggris telah dibaca ke variabel 8216kings8217. Setelah Anda membaca data deret waktu ke R, langkah selanjutnya adalah menyimpan data dalam objek deret waktu di R, sehingga Anda dapat menggunakan banyak fungsi R8217 untuk menganalisis data deret waktu. Untuk menyimpan data dalam objek deret waktu, kita menggunakan fungsi ts () di R. Misalnya, untuk menyimpan data pada variabel 8216kings8217 sebagai objek deret waktu di R, kita mengetik: Terkadang data deret waktu yang ditetapkan bahwa Anda Mungkin telah dikumpulkan secara berkala yang kurang dari satu tahun, misalnya bulanan atau kuartalan. Dalam kasus ini, Anda dapat menentukan berapa kali data dikumpulkan per tahun dengan menggunakan parameter 8216frequency8217 pada fungsi ts (). Untuk data time series bulanan, Anda mengatur frequency12, sedangkan untuk data kuartalan, Anda menetapkan frequency4. Anda juga dapat menentukan tahun pertama bahwa data dikumpulkan, dan interval pertama di tahun itu dengan menggunakan parameter 8216start8217 pada fungsi ts (). Misalnya, jika titik data pertama sesuai dengan kuarter kedua tahun 1986, Anda akan menetapkan startc (1986,2). Contohnya adalah kumpulan data jumlah kelahiran per bulan di kota New York, dari Januari 1946 sampai Desember 1959 (awalnya dikumpulkan oleh Newton). Data ini tersedia dalam file robjhyndmantsdldatadatanybirths.dat Kita dapat membaca data ke R, dan menyimpannya sebagai objek time series, dengan mengetik: Demikian pula, file robjhyndmantsdldatadatafancy.dat berisi penjualan bulanan untuk toko suvenir di sebuah kota resor pantai di Queensland, Australia, untuk Januari 1987-Desember 1993 (data asli dari Wheelwright dan Hyndman, 1998). Kita bisa membaca data ke R dengan mengetik: Plotting Time Series Setelah Anda membaca sebuah seri waktu ke R, langkah selanjutnya adalah membuat plot dari data deret waktu, yang dapat Anda lakukan dengan fungsi plot.ts () Di R. Misalnya, untuk merencanakan deret waktu dari usia kematian 42 raja berturut-turut di Inggris, kita mengetik: Kita dapat melihat dari plot waktu bahwa deret waktu ini mungkin bisa dijelaskan dengan menggunakan model aditif, karena fluktuasi acak Dalam data kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu. Demikian juga, untuk merencanakan deret waktu jumlah kelahiran per bulan di kota New York, kita mengetik: Kita dapat melihat dari rangkaian waktu ini yang tampaknya merupakan variasi musiman dalam jumlah kelahiran per bulan: ada puncak setiap musim panas. , Dan palung setiap musim dingin. Sekali lagi, nampaknya rangkaian waktu ini mungkin bisa dijelaskan dengan menggunakan model aditif, karena fluktuasi musiman kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu dan sepertinya tidak bergantung pada tingkat deret waktu, dan fluktuasi acak juga tampak demikian. Kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu. Demikian pula, untuk merencanakan deret penjualan bulanan untuk toko suvenir di sebuah kota pantai di Queensland, Australia, kita mengetik: Dalam kasus ini, tampak bahwa model aditif tidak sesuai untuk menggambarkan seri waktu ini, karena ukurannya Fluktuasi musiman dan fluktuasi acak nampaknya meningkat dengan tingkat deret waktu. Dengan demikian, kita mungkin perlu mengubah deret waktu untuk mendapatkan rangkaian waktu transformasi yang dapat dideskripsikan dengan menggunakan model aditif. Sebagai contoh, kita dapat mengubah deret waktu dengan menghitung log alami dari data asli: Di ​​sini kita dapat melihat bahwa fluktuasi musiman dan fluktuasi acak dalam deret waktu log-transform tampaknya konstan sepanjang waktu, dan lakukan Tidak tergantung pada tingkat deret waktu. Dengan demikian, deret waktu log-transform dapat digambarkan menggunakan model aditif. Decomposing Time Series Menguraikan rangkaian waktu berarti memisahkannya ke komponen penyusunnya, yang biasanya merupakan komponen tren dan komponen tidak beraturan, dan jika merupakan rangkaian waktu musiman, komponen musiman. Mengurai Data Non-Musiman Seri waktu non-musiman terdiri dari komponen tren dan komponen tidak beraturan. Mendekomposisi deret waktu melibatkan mencoba memisahkan deret waktu ke komponen ini, yaitu memperkirakan komponen tren dan komponen tidak beraturan. Untuk memperkirakan komponen tren dari rangkaian waktu non-musiman yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif, lazim digunakan metode pemulusan, seperti menghitung rata-rata pergerakan sederhana dari deret waktu. Fungsi SMA () pada paket 8220TTR8221 R dapat digunakan untuk memperlancar data deret waktu menggunakan rata-rata bergerak sederhana. Untuk menggunakan fungsi ini, pertama-tama kita perlu menginstal paket 8220TTR8221 R (untuk petunjuk bagaimana cara menginstal paket R, lihat Bagaimana cara menginstal paket R). Setelah Anda menginstal paket 8220TTR8221 R, Anda dapat memuat paket 8220TTR8221 R dengan mengetikkan: Anda kemudian dapat menggunakan fungsi 8220SMA () 8221 untuk memperlancar data deret waktu. Untuk menggunakan fungsi SMA (), Anda perlu menentukan urutan (rentang) rata-rata bergerak sederhana, dengan menggunakan parameter 8220n8221. Sebagai contoh, untuk menghitung rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 5, kita menetapkan n5 di fungsi SMA (). Misalnya, seperti yang dibahas di atas, deret waktu dari usia kematian 42 raja berturut-turut di Inggris tampak tidak musiman, dan mungkin dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif, karena fluktuasi data secara acak kira-kira konstan Waktu: Dengan demikian, kita bisa mencoba mengestimasi komponen tren seri kali ini dengan merapikan dengan menggunakan rata-rata bergerak sederhana. Untuk memperlancar deret waktu menggunakan rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 3, dan plot data deret waktu yang diperhalus, kita mengetik: Masih terlihat ada banyak fluktuasi acak dalam rangkaian waktu yang dihaluskan dengan menggunakan rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 3. Dengan demikian, untuk memperkirakan komponen tren secara lebih akurat, kita mungkin ingin mencoba merapikan data dengan rata-rata bergerak sederhana dengan tatanan yang lebih tinggi. Ini membutuhkan sedikit trial and error, untuk menemukan jumlah smoothing yang tepat. Sebagai contoh, kita dapat mencoba menggunakan rata-rata pesanan bergerak sederhana 8: Data yang dihaluskan dengan rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 8 memberi gambaran lebih jelas tentang komponen tren, dan kita dapat melihat bahwa usia kematian raja-raja Inggris tampaknya Telah menurun dari sekitar 55 tahun menjadi sekitar 38 tahun pada masa pemerintahan 20 raja pertama, dan kemudian meningkat setelah itu menjadi sekitar 73 tahun pada akhir masa pemerintahan raja ke-40 dalam deret waktu. Membusuk Data Musiman Seri waktu musiman terdiri dari komponen tren, komponen musiman dan komponen tidak beraturan. Dekomposisi deret waktu berarti memisahkan deret waktu ke dalam ketiga komponen ini: yaitu memperkirakan ketiga komponen ini. Untuk memperkirakan komponen tren dan komponen musiman dari deret waktu musiman yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif, kita dapat menggunakan fungsi 8220decompose () 8221 di R. Fungsi ini memperkirakan komponen tren, musiman, dan tidak beraturan dari rangkaian waktu yang Dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif. Fungsi 8220decompose () 8221 mengembalikan sebuah objek daftar sebagai hasilnya, di mana perkiraan komponen musiman, komponen tren dan komponen tidak beraturan disimpan dalam elemen bernama dari benda daftar itu, yang masing-masing disebut 8220seasonal8221, 8220trend8221, dan 8220random8221. Misalnya, seperti yang dibahas di atas, rangkaian waktu jumlah kelahiran per bulan di kota New York musiman dengan puncak setiap musim panas dan setiap musim dingin, dan mungkin dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif karena fluktuasi musiman dan acak tampaknya Kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu: Untuk memperkirakan tren, komponen musiman dan tidak teratur dari deret waktu ini, kita mengetik: Nilai estimasi komponen musiman, tren dan tidak beraturan sekarang disimpan dalam variabel komponen kelahiran, komponen pengujian, pengujian kelahiran dan komponen kelahiran berulang. Misalnya, kita dapat mencetak perkiraan nilai komponen musiman dengan mengetik: Perkiraan faktor musiman diberikan untuk bulan Januari-Desember, dan sama untuk setiap tahun. Faktor musiman terbesar adalah untuk bulan Juli (sekitar 1,46), dan yang terendah adalah untuk bulan Februari (sekitar -2,08), menunjukkan bahwa tampaknya ada puncak kelahiran pada bulan Juli dan palung pada kelahiran pada bulan Februari setiap tahunnya. Kita dapat merencanakan perkiraan tren, musiman, dan komponen tidak teratur dari deret waktu dengan menggunakan fungsi 8220plot () 8221, misalnya: Plot di atas menunjukkan rangkaian waktu asli (atas), komponen tren perkiraan (kedua dari atas), Komponen musiman yang diperkirakan (ketiga dari atas), dan perkiraan komponen tidak beraturan (bawah). Kami melihat bahwa komponen tren perkiraan menunjukkan penurunan kecil dari sekitar 24 pada tahun 1947 sampai sekitar 22 pada tahun 1948, diikuti oleh peningkatan yang stabil mulai dari saat ini menjadi sekitar 27 di tahun 1959. Penyesuaian musiman Jika Anda memiliki rangkaian waktu musiman yang dapat dijelaskan dengan menggunakan Sebuah model aditif, secara musiman dapat menyesuaikan deret waktu dengan memperkirakan komponen musiman, dan mengurangkan komponen musiman yang diperkirakan dari rangkaian waktu asli. Kita bisa melakukan ini dengan menggunakan perkiraan komponen musiman yang dihitung oleh fungsi 8220decompose () 8221. Misalnya, untuk menyesuaikan secara musiman rentang waktu jumlah kelahiran per bulan di kota New York, kita dapat memperkirakan komponen musiman dengan menggunakan 8220decompose () 8221, dan kemudian mengurangi komponen musiman dari rangkaian waktu asli: Kita kemudian dapat merencanakan Time series yang disesuaikan dengan waktu menggunakan fungsi 8220plot () 8221, dengan mengetik: Anda dapat melihat bahwa variasi musiman telah dihapus dari rangkaian waktu yang disesuaikan secara musiman. Seri waktu yang disesuaikan secara musiman sekarang hanya berisi komponen tren dan komponen tidak beraturan. Prakiraan menggunakan Exponential Smoothing Exponential smoothing dapat digunakan untuk membuat ramalan jangka pendek untuk data deret waktu. Smoothing Eksponensial Sederhana Jika Anda memiliki rangkaian waktu yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif dengan tingkat konstan dan tanpa musiman, Anda dapat menggunakan perataan eksponensial sederhana untuk membuat perkiraan jangka pendek. Metode smoothing eksponensial sederhana memberikan cara untuk memperkirakan tingkat pada titik waktu saat ini. Smoothing dikendalikan oleh parameter alpha untuk memperkirakan level pada titik waktu saat ini. Nilai alpha terletak antara 0 dan 1. Nilai alfa yang mendekati 0 berarti bahwa bobot kecil ditempatkan pada observasi terbaru saat membuat perkiraan nilai masa depan. Sebagai contoh, file robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat berisi total curah hujan tahunan dalam inci untuk London, dari 1813-1912 (data asli dari Hipel dan McLeod, 1994). Kita bisa membaca data ke R dan merencanakannya dengan mengetik: Anda bisa melihat dari plot yang ada kira-kira level konstan (rata-rata tetap konstan sekitar 25 inci). Fluktuasi acak dalam deret waktunya nampaknya kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu, jadi mungkin tepat untuk menggambarkan data menggunakan model aditif. Dengan demikian, kita bisa membuat prakiraan menggunakan smoothing eksponensial sederhana. Untuk membuat prakiraan menggunakan pemulusan eksponensial sederhana di R, kita dapat menyesuaikan model prediksi pemulusan eksponensial sederhana menggunakan fungsi 8220HoltWinters () 8221 di R. Untuk menggunakan HoltWinters () untuk perataan eksponensial sederhana, kita perlu mengatur parameter betaFALSE dan gammaFALSE di Fungsi HoltWinters () (parameter beta dan gamma digunakan untuk pemulusan eksponensial Holt8217s, atau pemulusan eksponensial Holt-Winters, seperti yang dijelaskan di bawah). Fungsi HoltWinters () mengembalikan variabel daftar, yang berisi beberapa elemen bernama. Misalnya, untuk menggunakan perataan eksponensial sederhana untuk membuat perkiraan untuk deret tahunan curah hujan tahunan di London, kita mengetik: Output dari HoltWinters () memberi tahu kita bahwa perkiraan nilai parameter alfa adalah sekitar 0,024. Ini sangat mendekati nol, mengatakan kepada kita bahwa prakiraan didasarkan pada pengamatan baru-baru ini dan yang baru-baru ini (walaupun bobotnya sedikit lebih banyak ditempatkan pada pengamatan terakhir). Secara default, HoltWinters () hanya membuat perkiraan untuk periode waktu yang sama yang tercakup dalam rangkaian waktu asli kami. Dalam kasus ini, rangkaian waktu asli kami meliputi curah hujan untuk London dari 1813-1912, jadi prakiraan juga untuk tahun 1813-1912. Pada contoh di atas, kita telah menyimpan output dari fungsi HoltWinters () pada daftar variabel 8220rainseriesforecasts8221. Perkiraan yang dibuat oleh HoltWinters () disimpan dalam elemen bernama dari variabel daftar ini yang disebut 8220fitted8221, jadi kita bisa mendapatkan nilai mereka dengan mengetik: Kita dapat merencanakan rangkaian waktu asli melawan perkiraan dengan mengetik: Plot menunjukkan rangkaian waktu asli di Hitam, dan prakiraan sebagai garis merah. Rangkaian ramalan waktu jauh lebih mulus dari deret data asli di sini. Sebagai ukuran keakuratan prakiraan, kita dapat menghitung jumlah kesalahan kuadrat untuk kesalahan perkiraan sampel, yaitu kesalahan perkiraan untuk jangka waktu yang tercakup dalam rangkaian waktu awal kami. Kesalahan jumlah-kuadrat tersimpan dalam elemen bernama dari daftar variabel 8220rainseriesforecasts8221 yang disebut 8220SSE8221, jadi kita bisa mendapatkan nilainya dengan mengetik: Artinya, di sini jumlah kesalahan kuadrat adalah 1828.855. Hal ini biasa terjadi pada smoothing eksponensial sederhana untuk menggunakan nilai pertama dalam deret waktu sebagai nilai awal untuk level. Misalnya, dalam deret waktu untuk curah hujan di London, nilai pertama adalah 23,56 (inci) untuk curah hujan pada tahun 1813. Anda dapat menentukan nilai awal untuk level pada fungsi HoltWinters () dengan menggunakan parameter 8220l.start8221. Misalnya, untuk membuat perkiraan dengan nilai awal dari level yang ditetapkan menjadi 23,56, kita mengetikkan: Seperti yang dijelaskan di atas, secara default HoltWinters () hanya membuat perkiraan untuk jangka waktu yang dicakup oleh data asli, yaitu 1813-1912 untuk curah hujan Seri waktu Kita dapat membuat perkiraan untuk titik waktu lebih lanjut dengan menggunakan fungsi 8220forecast.HoltWinters () 8221 dalam paket R 8220forecast8221. Untuk menggunakan fungsi forecast.HoltWinters (), pertama-tama kita perlu menginstal paket 8220forecast8221 R (untuk petunjuk bagaimana cara menginstal paket R, lihat Bagaimana cara menginstal paket R). Setelah Anda menginstal paket 8220forecast8221 R, Anda dapat memuat paket 8220forecast8221 R dengan mengetikkan: Bila menggunakan fungsi forecast.HoltWinters (), sebagai argumen pertama (masukan), Anda menyebarkannya model prediktif yang telah Anda pas menggunakan Fungsi HoltWinters (). Misalnya, dalam kasus deret waktu curah hujan, kami menyimpan model prediksi yang dibuat menggunakan HoltWinters () pada variabel 8220rainseriesforecasts8221. Anda menentukan berapa banyak titik waktu lebih lanjut yang ingin Anda jadikan prakiraan untuk menggunakan parameter 8220h8221 di forecast.HoltWinters (). Misalnya, untuk membuat ramalan curah hujan untuk tahun 1814-1820 (8 tahun lagi) dengan menggunakan ramalan.HoltWinters (), kita mengetik: Fungsi forecast.HoltWinters () memberi Anda perkiraan untuk satu tahun, interval prediksi 80 untuk Perkiraan, dan interval prediksi 95 untuk ramalan. Misalnya, curah hujan yang diperkirakan pada tahun 1920 sekitar 24,68 inci, dengan interval prediksi 95 (16,24, 33,11). Untuk merencanakan prediksi yang dibuat oleh forecast.HoltWinters (), kita dapat menggunakan fungsi 8220plot.forecast () 8221: Di sini prakiraan untuk 1913-1920 diplot sebagai garis biru, interval prediksi 80 sebagai daerah yang teduh oranye, dan 95 interval prediksi sebagai area berbayang kuning. Kesalahan 8216forecast8217 dihitung sebagai nilai yang teramati dikurangi nilai yang diprediksi, untuk setiap titik waktu. Kami hanya bisa menghitung perkiraan kesalahan untuk periode waktu yang tercakup dalam rangkaian waktu asli kami, yaitu 1813-1912 untuk data curah hujan. Seperti disebutkan di atas, satu ukuran keakuratan model prediktif adalah jumlah kesalahan kuadrat-kuadrat (SSE) untuk kesalahan perkiraan sampel dalam sampel. Kesalahan perkiraan sampel dalam sampel disimpan dalam elemen yang diberi nama 8220residuals8221 dari variabel daftar yang dikembalikan oleh forecast.HoltWinters (). Jika model prediktif tidak dapat diperbaiki, seharusnya tidak ada korelasi antara perkiraan kesalahan untuk prediksi berturut-turut. Dengan kata lain, jika ada korelasi antara perkiraan kesalahan untuk prediksi berturut-turut, kemungkinan ramalan penghalusan eksponensial sederhana dapat diperbaiki dengan teknik peramalan lain. Untuk mengetahui apakah ini masalahnya, kita bisa mendapatkan correlogram dari perkiraan kesalahan dalam sampel untuk lag lag 1-20. Kita dapat menghitung correlogram dari kesalahan perkiraan menggunakan fungsi 8220acf () 8221 di R. Untuk menentukan lag maksimum yang ingin kita lihat, kita menggunakan parameter 8220lag.max8221 di acf (). Misalnya, untuk menghitung correlogram kesalahan perkiraan sampel untuk data curah hujan London untuk lag 1-20, kita mengetik: Anda dapat melihat dari correlogram sampel bahwa autokorelasi pada lag 3 hanya menyentuh batas-batas signifikansi. Untuk menguji apakah ada bukti signifikan untuk korelasi non-nol pada lag 1-20, kita dapat melakukan uji Ljung-Box. Hal ini dapat dilakukan pada R menggunakan fungsi 8220Box.test () 8221. Jeda maksimum yang ingin kita lihat ditentukan dengan menggunakan parameter 8220lag8221 pada fungsi Box.test (). Misalnya, untuk menguji apakah ada autokorelasi non-nol pada lag 1-20, untuk kesalahan perkiraan sampel untuk data curah hujan di London, kita mengetik: Berikut statistik uji Ljung-Box adalah 17,4, dan nilai p adalah 0,6 , Jadi hanya ada sedikit bukti autokorelasi non-nol pada kesalahan perkiraan sampel di lag pada 1-20. Untuk memastikan bahwa model prediktif tidak dapat diperbaiki, ada baiknya juga untuk memeriksa apakah kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan. Untuk memeriksa apakah kesalahan perkiraan memiliki varians konstan, kita dapat membuat plot waktu dari perkiraan kesalahan dalam sampel: Plot menunjukkan bahwa kesalahan perkiraan sampel tampaknya memiliki varians yang hampir konstan dari waktu ke waktu, walaupun ukuran fluktuasi di Dimulainya rangkaian waktu (1820-1830) mungkin sedikit kurang dari yang di kemudian hari (misalnya 1840-1850). Untuk memeriksa apakah kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol, kita dapat merencanakan histogram dari kesalahan perkiraan, dengan kurva normal terlipat yang memiliki mean nol dan standar deviasi yang sama dengan distribusi kesalahan perkiraan. Untuk melakukan ini, kita dapat menentukan fungsi R 8220plotForecastErrors () 8221, di bawah ini: Anda harus menyalin fungsi di atas ke dalam R untuk menggunakannya. Anda kemudian dapat menggunakan plotForecastErrors () untuk merencanakan histogram (dengan kurva normal terlipat) dari perkiraan kesalahan untuk prediksi curah hujan: Plot menunjukkan bahwa distribusi kesalahan perkiraan kira-kira berpusat pada nol, dan biasanya didistribusikan secara normal, meskipun Tampaknya sedikit miring ke kanan dibandingkan dengan kurva normal. Namun, condong kanan relatif kecil, dan sangat masuk akal bahwa kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol. Uji Ljung-Box menunjukkan bahwa hanya ada sedikit bukti autokorelasi non-nol pada kesalahan perkiraan sampel, dan distribusi kesalahan perkiraan tampaknya terdistribusi normal dengan nol rata-rata. Ini menunjukkan bahwa metode pemulusan eksponensial sederhana memberikan model prediksi yang memadai untuk curah hujan London, yang mungkin tidak dapat diperbaiki. Selanjutnya, asumsi bahwa interval prediksi 80 dan 95 didasarkan pada (bahwa tidak ada autokorelasi dalam kesalahan perkiraan, dan kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan) mungkin valid. Holt8217s Exponential Smoothing Jika Anda memiliki rangkaian waktu yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif dengan tren meningkat atau menurun dan tanpa musiman, Anda dapat menggunakan pemulusan eksponensial Holt8217 untuk membuat perkiraan jangka pendek. Holt8217s eksponensial smoothing memperkirakan tingkat dan kemiringan pada titik waktu saat ini. Smoothing dikendalikan oleh dua parameter, alpha, untuk estimasi tingkat pada titik waktu saat ini, dan beta untuk perkiraan kemiringan b dari komponen tren pada titik waktu saat ini. Seperti halnya smoothing eksponensial sederhana, paramer alpha dan beta memiliki nilai antara 0 dan 1, dan nilai yang mendekati 0 berarti bahwa bobot kecil ditempatkan pada observasi terbaru saat membuat perkiraan nilai masa depan. Contoh deret waktu yang mungkin bisa dideskripsikan dengan menggunakan model aditif dengan tren dan tidak ada musiman adalah deret waktu dari diameter tahunan rok wanita8217 di hem, dari tahun 1866 sampai 1911. Data tersedia di file robjhyndmantsdldatarobertsskirts. Dat (data asli dari Hipel dan McLeod, 1994). Kita dapat membaca dan merencanakan data di R dengan mengetik: Kita dapat melihat dari plot bahwa ada peningkatan diameter hem dari sekitar 600 pada tahun 1866 sampai sekitar 1050 pada tahun 1880, dan kemudian diameter hem diturunkan menjadi sekitar 520 pada tahun 1911 Untuk membuat prakiraan, kita dapat menyesuaikan model prediktif dengan menggunakan fungsi HoltWinters () di R. Untuk menggunakan HoltWinters () untuk pemulusan eksponensial Holt8217, kita perlu mengatur parameter gammaFALSE (parameter gamma digunakan untuk pemulusan eksponensial Holt-Winters, Seperti yang dijelaskan di bawah). Misalnya, untuk menggunakan pemulusan eksponensial Holt8217 agar sesuai dengan model prediktif untuk diameter rok lingkaran, kita mengetik: Nilai taksiran alpha adalah 0,84, dan beta adalah 1,00. Ini keduanya tinggi, memberi tahu kita bahwa baik perkiraan nilai sekarang dari tingkat, dan kemiringan b komponen tren, sebagian besar didasarkan pada pengamatan yang sangat baru dalam deret waktu. Ini masuk akal intuitif, karena tingkat dan kemiringan deret waktu keduanya berubah cukup lama dari waktu ke waktu. Nilai kesalahan jumlah kuadrat untuk kesalahan perkiraan sampel adalah 16954. Kita dapat merencanakan rangkaian waktu asli sebagai garis hitam, dengan nilai perkiraan sebagai garis merah di atasnya, dengan mengetik: Kami Dapat melihat dari gambar bahwa perkiraan sampel dalam sampel cukup sesuai dengan nilai yang teramati, walaupun cenderung tertinggal jauh dari nilai yang teramati sedikit. Jika Anda mau, Anda dapat menentukan nilai awal dari tingkat dan kemiringan b dari komponen tren dengan menggunakan argumen 8220l.start8221 dan 8220b.start8221 untuk fungsi HoltWinters (). Adalah umum untuk menetapkan nilai awal dari tingkat ke nilai pertama dalam deret waktu (608 untuk data rok), dan nilai awal kemiringan pada nilai kedua dikurangi nilai pertama (9 untuk data rok). Misalnya, untuk menyesuaikan model prediktif dengan data rok hem dengan menggunakan smoothing eksponensial Holt8217s, dengan nilai awal 608 untuk level dan 9 untuk kemiringan b komponen tren, kita mengetik: Seperti untuk smoothing eksponensial sederhana, kita dapat membuat perkiraan Untuk masa depan yang tidak tercakup dalam rangkaian waktu asli dengan menggunakan fungsi forecast.HoltWinters () dalam paket 8220forecast8221. Sebagai contoh, data deret waktu kami untuk rok hems adalah untuk tahun 1866 sampai 1911, jadi kami dapat membuat prediksi untuk tahun 1912 sampai 1930 (19 poin data lebih banyak), dan plotkannya, dengan mengetik: Prakiraan ditampilkan sebagai garis biru, dengan 80 interval prediksi sebagai area yang diarsir oranye, dan interval prediksi 95 sebagai daerah yang diarsir kuning. Seperti untuk smoothing eksponensial sederhana, kita dapat memeriksa apakah model prediktif dapat diperbaiki dengan memeriksa apakah kesalahan perkiraan sampel menunjukkan autokorelasi non-nol pada lag 1-20. Sebagai contoh, untuk data rok hem, kita dapat membuat correlogram, dan melakukan uji Ljung-Box, dengan mengetikkan: Disini correlogram menunjukkan bahwa autokorelasi sampel untuk kesalahan perkiraan sampel pada lag 5 melebihi batas signifikansi. Namun, kita akan memperkirakan satu dari 20 autokorelasi untuk dua detik pertama yang tertinggal melebihi batas kepentingan 95 secara kebetulan saja. Memang, ketika kita melakukan uji Ljung-Box, nilai p adalah 0,47, menunjukkan bahwa hanya ada sedikit bukti autokorelasi non-nol pada kesalahan perkiraan sampel pada lag 1-20. Seperti untuk smoothing eksponensial sederhana, kita juga harus memeriksa bahwa kesalahan perkiraan memiliki varians konstan dari waktu ke waktu, dan biasanya terdistribusi dengan mean nol. Kita dapat melakukan ini dengan membuat plot waktu dari kesalahan perkiraan, dan histogram dari distribusi kesalahan perkiraan dengan kurva normal yang dilapisi: Plot waktu dari kesalahan perkiraan menunjukkan bahwa kesalahan perkiraan memiliki varians konstan secara konstan dari waktu ke waktu. Histogram kesalahan perkiraan menunjukkan bahwa masuk akal bahwa kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan. Dengan demikian, uji Ljung-Box menunjukkan bahwa hanya ada sedikit bukti autokorelasi dalam kesalahan perkiraan, sementara plot waktu dan histogram kesalahan perkiraan menunjukkan bahwa kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa pemulusan eksponensial Holt8217s memberikan model prediksi yang memadai untuk diameter rok hem, yang mungkin tidak dapat diperbaiki. Selain itu, ini berarti bahwa asumsi bahwa interval prediksi 80 dan 95 didasarkan pada kemungkinan valid. Pemulusan Eksponensial Holt-Winters Jika Anda memiliki rangkaian waktu yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif dengan tren naik dan turun dan musiman, Anda dapat menggunakan pemulusan eksponensial Holt-Winters untuk membuat perkiraan jangka pendek. Holt-Winters eksponensial smoothing memperkirakan tingkat, kemiringan dan komponen musiman pada titik waktu saat ini. Smoothing dikendalikan oleh tiga parameter: alpha, beta, dan gamma, untuk perkiraan tingkat, kemiringan b dari komponen tren, dan komponen musiman, masing-masing, pada titik waktu saat ini. Parameter alpha, beta dan gamma semuanya memiliki nilai antara 0 dan 1, dan nilai yang mendekati 0 berarti bahwa bobot relatif sedikit ditempatkan pada observasi terbaru saat membuat perkiraan nilai masa depan. Contoh deret waktu yang mungkin bisa digambarkan menggunakan model aditif dengan tren dan musiman adalah deret waktu log penjualan bulanan untuk toko suvenir di sebuah kota pantai di Queensland, Australia (dibahas di atas): Untuk membuat Prakiraan, kita bisa memasukkan model prediksi menggunakan fungsi HoltWinters (). Misalnya, untuk menyesuaikan model prediksi penjualan log bulanan di toko suvenir, kita mengetik: Nilai estimasi alpha, beta dan gamma masing-masing adalah 0,41, 0,00, dan 0,96. Nilai alfa (0,41) relatif rendah, menunjukkan bahwa perkiraan tingkat pada titik waktu saat ini didasarkan pada pengamatan terakhir dan beberapa pengamatan di masa lalu yang lebih jauh. Nilai beta adalah 0.00, yang menunjukkan bahwa perkiraan kemiringan b komponen tren tidak diperbarui sepanjang deret waktu, dan sebaliknya disetel sama dengan nilai awalnya. Ini masuk akal intuitif, karena tingkatnya sedikit berubah selama rangkaian waktu, namun kemiringan komponen tren tetap sama. Sebaliknya, nilai gamma (0,96) tinggi, menunjukkan bahwa perkiraan komponen musiman pada titik waktu saat ini hanya didasarkan pada pengamatan yang sangat baru-baru ini. Seperti pemulusan eksponensial sederhana dan pemulusan eksponensial Holt8217, kami dapat merencanakan rangkaian waktu asli sebagai garis hitam, dengan nilai perkiraan sebagai garis merah di atas itu: Kami melihat dari plot bahwa metode eksponensial Holt-Winters sangat berhasil. Dalam memprediksi puncak musiman, yang terjadi kira-kira pada bulan November setiap tahunnya. Untuk membuat prakiraan untuk masa depan yang tidak termasuk dalam rangkaian waktu asli, kami menggunakan fungsi 8220forecast.HoltWinters () 8221 dalam paket 8220forecast8221. Misalnya, data asli untuk penjualan suvenir adalah dari Januari 1987 sampai Desember 1993. Jika kami ingin membuat perkiraan untuk Januari 1994 sampai Desember 1998 (48 bulan lagi), dan merencanakan perkiraan, kami akan mengetik: Perkiraan tersebut akan ditampilkan sebagai Garis biru, dan area teduh oranye dan kuning masing-masing menunjukkan 80 dan 95 interval prediksi. Kita dapat menyelidiki apakah model prediktif dapat diperbaiki dengan memeriksa apakah kesalahan perkiraan sampel menunjukkan autokorelasi non-nol pada lag 1-20, dengan membuat correlogram dan melakukan uji Ljung-Box: Korelasi tersebut menunjukkan bahwa autokorelasi Untuk perkiraan kesalahan dalam sampel tidak melebihi batas signifikansi untuk lags 1-20. Selanjutnya, nilai p untuk uji Ljung-Box adalah 0,6, menunjukkan bahwa hanya ada sedikit bukti autokorelasi non-nol pada lag 1-20. Kita dapat memeriksa apakah kesalahan perkiraan memiliki varians konstan dari waktu ke waktu, dan biasanya terdistribusi dengan mean nol, dengan membuat plot waktu dari perkiraan kesalahan dan histogram (dengan kurva normal terlipat): Dari plot waktu, tampak masuk akal bahwa Kesalahan perkiraan memiliki varians konstan dari waktu ke waktu. Dari histogram kesalahan perkiraan, nampaknya masuk akal bahwa kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol. Dengan demikian, hanya ada sedikit bukti autokorelasi pada kelambatan 1-20 untuk kesalahan perkiraan, dan kesalahan perkiraan tampaknya terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan dari waktu ke waktu. Hal ini menunjukkan bahwa pemulusan eksponensial Holt-Winters memberikan model prediksi log penjualan yang memadai di toko suvenir, yang mungkin tidak dapat diperbaiki. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p,d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p,d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p,d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p,q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assum e that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p,q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto.arima() function The auto.arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto.arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi.dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p,q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto.arima() function Again, we can use auto.arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto.arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto.arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto.arima(volcanodust,ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p,q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p,q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p,q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p,d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p,d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p,d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast.Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast.Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast.Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast.Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast.ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast.Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran.r-project.orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran.r-project.orgdocmanualsR-intro.html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto.arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 ukIdentifying the numbers of AR or MA terms in an ARIMA model ACF and PACF plots: After a time series has been stationarized by differencing, the next step in fitting an ARIMA model is to determine whether AR or MA terms are needed to correct any autocorrelation that remains in the differenced series. Of course, with software like Statgraphics, you could just try some different combinations of terms and see what works best. But there is a more systematic way to do this. By looking at the autocorrelation function (ACF) and partial autocorrelation (PACF) plots of the differenced series, you can tentatively identify the numbers of AR andor MA terms that are needed. You are already familiar with the ACF plot: it is merely a bar chart of the coefficients of correlation between a time series and lags of itself. The PACF plot is a plot of the partial correlation coefficients between the series and lags of itself. In general, the quotpartialquot correlation between two variables is the amount of correlation between them which is not explained by their mutual correlations with a specified set of other variables. For example, if we are regressing a variable Y on other variables X1, X2, and X3, the partial correlation between Y and X3 is the amount of correlation between Y and X3 that is not explained by their common correlations with X1 and X2. This partial correlation can be computed as the square root of the reduction in variance that is achieved by adding X3 to the regression of Y on X1 and X2. A partial auto correlation is the amount of correlation between a variable and a lag of itself that is not explained by correlations at all lower-order -lags. The autocorrelation of a time series Y at lag 1 is the coefficient of correlation between Y t and Y t - 1 . which is presumably also the correlation between Y t -1 and Y t -2 . But if Y t is correlated with Y t -1 . and Y t -1 is equally correlated with Y t -2 . then we should also expect to find correlation between Y t and Y t-2 . In fact, the amount of correlation we should expect at lag 2 is precisely the square of the lag-1 correlation. Thus, the correlation at lag 1 quotpropagatesquot to lag 2 and presumably to higher-order lags. The partial autocorrelation at lag 2 is therefore the difference between the actual correlation at lag 2 and the expected correlation due to the propagation of correlation at lag 1. Here is the autocorrelation function (ACF) of the UNITS series, before any differencing is performed: The autocorrelations are significant for a large number of lags--but perhaps the autocorrelations at lags 2 and above are merely due to the propagation of the autocorrelation at lag 1. This is confirmed by the PACF plot: Note that the PACF plot has a significant spike only at lag 1, meaning that all the higher-order autocorrelations are effectively explained by the lag-1 autocorrelation. The partial autocorrelations at all lags can be computed by fitting a succession of autoregressive models with increasing numbers of lags. In particular, the partial autocorrelation at lag k is equal to the estimated AR( k ) coefficient in an autoregressive model with k terms--i.e. a multiple regression model in which Y is regressed on LAG(Y,1), LAG(Y,2), etc. up to LAG(Y, k ). Thus, by mere inspection of the PACF you can determine how many AR terms you need to use to explain the autocorrelation pattern in a time series: if the partial autocorrelation is significant at lag k and not significant at any higher order lags--i.e. if the PACF quotcuts offquot at lag k --then this suggests that you should try fitting an autoregressive model of order k The PACF of the UNITS series provides an extreme example of the cut-off phenomenon: it has a very large spike at lag 1 and no other significant spikes, indicating that in the absence of differencing an AR(1) model should be used. However, the AR(1) term in this model will turn out to be equivalent to a first difference, because the estimated AR(1) coefficient (which is the height of the PACF spike at lag 1) will be almost exactly equal to 1. Now, the forecasting equation for an AR(1) model for a series Y with no orders of differencing is: If the AR(1) coefficient 981 1 in this equation is equal to 1, it is equivalent to predicting that the first difference of Y is constant--i.e. it is equivalent to the equation of the random walk model with growth: The PACF of the UNITS series is telling us that, if we dont difference it, then we should fit an AR(1) model which will turn out to be equivalent to taking a first difference. In other words, it is telling us that UNITS really needs an order of differencing to be stationarized. AR and MA signatures: If the PACF displays a sharp cutoff while the ACF decays more slowly (i.e. has significant spikes at higher lags), we say that the stationarized series displays an quotAR signature,quot meaning that the autocorrelation pattern can be explained more easily by adding AR terms than by adding MA terms. You will probably find that an AR signature is commonly associated with positive autocorrelation at lag 1--i.e. it tends to arise in series which are slightly under differenced. The reason for this is that an AR term can act like a quotpartial differencequot in the forecasting equation . For example, in an AR(1) model, the AR term acts like a first difference if the autoregressive coefficient is equal to 1, it does nothing if the autoregressive coefficient is zero, and it acts like a partial difference if the coefficient is between 0 and 1. So, if the series is slightly underdifferenced--i.e. if the nonstationary pattern of positive autocorrelation has not completely been eliminated, it will quotask forquot a partial difference by displaying an AR signature. Hence, we have the following rule of thumb for determining when to add AR terms: Rule 6: If the PACF of the differenced series displays a sharp cutoff andor the lag-1 autocorrelation is positive --i.e. if the series appears slightly quotunderdifferencedquot--then consider adding an AR term to the model. The lag at which the PACF cuts off is the indicated number of AR terms. In principle, any autocorrelation pattern can be removed from a stationarized series by adding enough autoregressive terms (lags of the stationarized series) to the forecasting equation, and the PACF tells you how many such terms are likely be needed. However, this is not always the simplest way to explain a given pattern of autocorrelation: sometimes it is more efficient to add MA terms (lags of the forecast errors) instead. The autocorrelation function (ACF) plays the same role for MA terms that the PACF plays for AR terms--that is, the ACF tells you how many MA terms are likely to be needed to remove the remaining autocorrelation from the differenced series. If the autocorrelation is significant at lag k but not at any higher lags--i.e. if the ACF quotcuts offquot at lag k-- this indicates that exactly k MA terms should be used in the forecasting equation. In the latter case, we say that the stationarized series displays an quotMA signature,quot meaning that the autocorrelation pattern can be explained more easily by adding MA terms than by adding AR terms. An MA signature is commonly associated with negative autocorrelation at lag 1--i.e. it tends to arise in series which are slightly over differenced. The reason for this is that an MA term can quotpartially cancelquot an order of differencing in the forecasting equation . To see this, recall that an ARIMA(0,1,1) model without constant is equivalent to a Simple Exponential Smoothing model. The forecasting equation for this model is where the MA(1) coefficient 952 1 corresponds to the quantity 1 - 945 in the SES model. If 952 1 is equal to 1, this corresponds to an SES model with 945 0, which is just a CONSTANT model because the forecast is never updated. This means that when 952 1 is equal to 1, it is actually cancelling out the differencing operation that ordinarily enables the SES forecast to re-anchor itself on the last observation. On the other hand, if the moving-average coefficient is equal to 0, this model reduces to a random walk model--i.e. it leaves the differencing operation alone. So, if 952 1 is something greater than 0, it is as if we are partially cancelling an order of differencing. If the series is already slightly over differenced--i.e. if negative autocorrelation has been introduced--then it will quotask forquot a difference to be partly cancelled by displaying an MA signature. (A lot of arm-waving is going on here A more rigorous explanation of this effect is found in the Mathematical Structure of ARIMA Models handout.) Hence the following additional rule of thumb: Rule 7: If the ACF of the differenced series displays a sharp cutoff andor the lag-1 autocorrelation is negative --i.e. if the series appears slightly quotoverdifferencedquot--then consider adding an MA term to the model. The lag at which the ACF cuts off is the indicated number of MA terms. A model for the UNITS series--ARIMA(2,1,0): Previously we determined that the UNITS series needed (at least) one order of nonseasonal differencing to be stationarized. After taking one nonseasonal difference--i.e. fitting an ARIMA(0,1,0) model with constant--the ACF and PACF plots look like this: Notice that (a) the correlation at lag 1 is significant and positive, and (b) the PACF shows a sharper quotcutoffquot than the ACF. In particular, the PACF has only two significant spikes, while the ACF has four. Thus, according to Rule 7 above, the differenced series displays an AR(2) signature. If we therefore set the order of the AR term to 2--i.e. fit an ARIMA(2,1,0) model--we obtain the following ACF and PACF plots for the residuals: The autocorrelation at the crucial lags--namely lags 1 and 2--has been eliminated, and there is no discernible pattern in higher-order lags. The time series plot of the residuals shows a slightly worrisome tendency to wander away from the mean: However, the analysis summary report shows that the model nonetheless performs quite well in the validation period, both AR coefficients are significantly different from zero, and the standard deviation of the residuals has been reduced from 1.54371 to 1.4215 (nearly 10) by the addition of the AR terms. Furthermore, there is no sign of a quotunit rootquot because the sum of the AR coefficients (0.2522540.195572) is not close to 1. (Unit roots are discussed on more detail below .) On the whole, this appears to be a good model. The (untransformed) forecasts for the model show a linear upward trend projected into the future: The trend in the long-term forecasts is due to fact that the model includes one nonseasonal difference and a constant term: this model is basically a random walk with growth fine-tuned by the addition of two autoregressive terms--i.e. two lags of the differenced series. The slope of the long-term forecasts (i.e. the average increase from one period to another) is equal to the mean term in the model summary (0.467566). The forecasting equation is: where 956 is the constant term in the model summary (0.258178), 981 1 is the AR(1) coefficient (0.25224) and 981 2 is the AR(2) coefficient (0.195572). Mean versus constant: In general, the quotmeanquot term in the output of an ARIMA model refers to the mean of the differenced series (i.e. the average trend if the order of differencing is equal to 1), whereas the quotconstantquot is the constant term that appears on the right-hand-side of the forecasting equation . The mean and constant terms are related by the equation: CONSTANT MEAN(1 minus the sum of the AR coefficients). In this case, we have 0.258178 0.467566(1 - 0.25224 - 0.195572) Alternative model for the UNITS series--ARIMA(0,2,1): Recall that when we began to analyze the UNITS series, we were not entirely sure of the correct order of differencing to use. One order of nonseasonal differencing yielded the lowest standard deviation (and a pattern of mild positive autocorrelation), while two orders of nonseasonal differencing yielded a more stationary-looking time series plot (but with rather strong negative autocorrelation). Here are both the ACF and PACF of the series with two nonseasonal differences: The single negative spike at lag 1 in the ACF is an MA(1) signature, according to Rule 8 above. Thus, if we were to use 2 nonseasonal differences, we would also want to include an MA(1) term, yielding an ARIMA(0,2,1) model. According to Rule 5, we would also want to suppress the constant term. Here, then, are the results of fitting an ARIMA(0,2,1) model without constant: Notice that the estimated white noise standard deviation (RMSE) is only very slightly higher for this model than the previous one (1.46301 here versus 1.45215 previously). The forecasting equation for this model is: where theta-1 is the MA(1) coefficient. Recall that this is similar to a Linear Exponential Smoothing model, with the MA(1) coefficient corresponding to the quantity 2(1-alpha) in the LES model. The MA(1) coefficient of 0.76 in this model suggests that an LES model with alpha in the vicinity of 0.72 would fit about equally well. Actually, when an LES model is fitted to the same data, the optimal value of alpha turns out to be around 0.61, which is not too far off. Here is a model comparison report that shows the results of fitting the ARIMA(2,1,0) model with constant, the ARIMA(0,2,1) model without constant, and the LES model: The three models perform nearly identically in the estimation period, and the ARIMA(2,1,0) model with constant appears slightly better than the other two in the validation period. On the basis of these statistical results alone, it would be hard to choose among the three models. However, if we plot the long-term forecasts made by the ARIMA(0,2,1) model without constant (which are essentially the same as those of the LES model), we see a significant difference from those of the earlier model: The forecasts have somewhat less of an upward trend than those of the earlier model--because the local trend near the end of the series is slightly less than the average trend over the whole series--but the confidence intervals widen much more rapidly. The model with two orders of differencing assumes that the trend in the series is time-varying, hence it considers the distant future to be much more uncertain than does the model with only one order of differencing. Which model should we choose That depends on the assumptions we are comfortable making with respect to the constancy of the trend in the data. The model with only one order of differencing assumes a constant average trend--it is essentially a fine-tuned random walk model with growth--and it therefore makes relatively conservative trend projections. It is also fairly optimistic about the accuracy with which it can forecast more than one period ahead. The model with two orders of differencing assumes a time-varying local trend--it is essentially a linear exponential smoothing model--and its trend projections are somewhat more more fickle. As a general rule in this kind of situation, I would recommend choosing the model with the lower order of differencing, other things being roughly equal. In practice, random-walk or simple-exponential-smoothing models often seem to work better than linear exponential smoothing models. Mixed models: In most cases, the best model turns out a model that uses either only AR terms or only MA terms, although in some cases a quotmixedquot model with both AR and MA terms may provide the best fit to the data. However, care must be exercised when fitting mixed models. It is possible for an AR term and an MA term to cancel each others effects . even though both may appear significant in the model (as judged by the t-statistics of their coefficients). Thus, for example, suppose that the quotcorrectquot model for a time series is an ARIMA(0,1,1) model, but instead you fit an ARIMA(1,1,2) model--i.e. you include one additional AR term and one additional MA term. Then the additional terms may end up appearing significant in the model, but internally they may be merely working against each other. The resulting parameter estimates may be ambiguous, and the parameter estimation process may take very many (e.g. more than 10) iterations to converge. Hence: Rule 8: It is possible for an AR term and an MA term to cancel each others effects, so if a mixed AR-MA model seems to fit the data, also try a model with one fewer AR term and one fewer MA term--particularly if the parameter estimates in the original model require more than 10 iterations to converge. For this reason, ARIMA models cannot be identified by quotbackward stepwisequot approach that includes both AR and MA terms. In other words, you cannot begin by including several terms of each kind and then throwing out the ones whose estimated coefficients are not significant. Instead, you normally follow a quotforward stepwisequot approach, adding terms of one kind or the other as indicated by the appearance of the ACF and PACF plots. Unit roots: If a series is grossly under- or overdifferenced--i.e. if a whole order of differencing needs to be added or cancelled, this is often signalled by a quotunit rootquot in the estimated AR or MA coefficients of the model. An AR(1) model is said to have a unit root if the estimated AR(1) coefficient is almost exactly equal to 1. (By quotexactly equal quot I really mean not significantly different from . in terms of the coefficients own standard error . ) When this happens, it means that the AR(1) term is precisely mimicking a first difference, in which case you should remove the AR(1) term and add an order of differencing instead. (This is exactly what would happen if you fitted an AR(1) model to the undifferenced UNITS series, as noted earlier.) In a higher-order AR model, a unit root exists in the AR part of the model if the sum of the AR coefficients is exactly equal to 1. In this case you should reduce the order of the AR term by 1 and add an order of differencing. A time series with a unit root in the AR coefficients is nonstationary --i.e. it needs a higher order of differencing. Rule 9: If there is a unit root in the AR part of the model--i.e. if the sum of the AR coefficients is almost exactly 1--you should reduce the number of AR terms by one and increase the order of differencing by one. Similarly, an MA(1) model is said to have a unit root if the estimated MA(1) coefficient is exactly equal to 1. When this happens, it means that the MA(1) term is exactly cancelling a first difference, in which case, you should remove the MA(1) term and also reduce the order of differencing by one. In a higher-order MA model, a unit root exists if the sum of the MA coefficients is exactly equal to 1. Rule 10: If there is a unit root in the MA part of the model--i.e. if the sum of the MA coefficients is almost exactly 1--you should reduce the number of MA terms by one and reduce the order of differencing by one. For example, if you fit a linear exponential smoothing model (an ARIMA(0,2,2) model) when a simple exponential smoothing model (an ARIMA(0,1,1) model) would have been sufficient, you may find that the sum of the two MA coefficients is very nearly equal to 1. By reducing the MA order and the order of differencing by one each, you obtain the more appropriate SES model. A forecasting model with a unit root in the estimated MA coefficients is said to be noninvertible . meaning that the residuals of the model cannot be considered as estimates of the quottruequot random noise that generated the time series. Another symptom of a unit root is that the forecasts of the model may quotblow upquot or otherwise behave bizarrely. If the time series plot of the longer-term forecasts of the model looks strange, you should check the estimated coefficients of your model for the presence of a unit root. Rule 11: If the long-term forecasts appear erratic or unstable, there may be a unit root in the AR or MA coefficients. None of these problems arose with the two models fitted here, because we were careful to start with plausible orders of differencing and appropriate numbers of AR and MA coefficients by studying the ACF and PACF models. More detailed discussions of unit roots and cancellation effects between AR and MA terms can be found in the Mathematical Structure of ARIMA Models handout.Time Series Analysis and Its Applications: With R Examples Code Used in the Text Examples The page uses JavaScript for syntax highlighting. Its not necessary to turn it on, but the code will be harder to read. Below is the code used for each numerical example in the text. This stuff wont work unless you have loaded astsa first. If this is your first time here, you might want to read the astsa package notes page for further information. The code for plots in the text were often shortened for the display (to save space). The actual code for all the graphs in the text can be found at GitHub. Click to expand or collapse section. Click - to collapse entire page. Or Expand Entire Page You dont have JavaScript enabled so these wont work for you. Chapter 1 Example 1.1 Example 1.2 Example 1.3 Example 1.4 Example 1.5 Example 1.6 Example 1.7 Example 1.9 Example 1.10 Example 1.11 Example 1.12 Example 1.24 Example 1.25 Example 1.26 Example 1.27 Example 1.28 Example 1.29 Example 1.30 Example 1.31 Chapter 2 Example 2.1 Example 2.2 Examples 2.3 Examples 2.4 and 2.5 Example 2.6 Example 2.7 Example 2.8 Example 2.9 Example 2.10 Example 2.11 Example 2.12 Example 2.13 Example 2.14 Example 2.15 Chapter 3 Example 3.2 Example 3.5 Example 3.7 Example 3.8 Example 3.11 Example 3.12 Example 3.16 Example 3.18 Example 3.25 Example 3.26 Example 3.28 Example 3.29 Example 3.31 Example 3.33 Example 3.36 Example 3.38 Example 3.39, 3.40, and 3.43 Example 3.41 Example 3.44 Example 3.45 Example 3.46 Example 3.47 Example 3.49 Chapter 4 Example 4.1 Example 4.2 Example 4.3 Examples 4.5, 4.6, 4.7 Example 4.10 Example 4.13 Example 4.14 Example 4.15 Example 4.16 Example 4.17 Example 4.18 Example 4.21 Example 4.22 Example 4.24 Example 4.25 Example 4.26 Chapter 5 Example 5.1 Example 5.1 redux Example 5.2 Example 5.3 Example 5.4 Example 5.5 and 5.6 Example 5.7 Example 5.8 and 5.9 Example 5.10 and 5.11 Example 5.12 Chapter 6 Example 6.1 Example 6.2 Example 6.5 Example 6.6 Example 6.7 Example 6.8 Example 6.9 Example 6.10 Example 6.12 Example 6.13 Example 6.14 Example 6.16 Example 6.17 Example 6.18 Example 6.22 Example 6.23 Example 6.24 Example 6.26 Chapter 7 Code in Introduction Example 7.1 Example 7.2 Example 7.5 Example 7.6 Example 7.7 Example 7.8 Example 7.9 Example 7.10 Example 7.11 Example 7.12 Example 7.13 Example 7.14 Example 7.16 Example 7.17
Stock-options-calls-and-puts
Kapan-untuk-latihan-stock-options-private-company