Pilihan harga-dan-lindung nilai-forex-polos-vanilla-pilihan

Pilihan harga-dan-lindung nilai-forex-polos-vanilla-pilihan

Moving-average-download
Bagaimana-do-iso-stock-options-work
Spanish-business-option-trading-sl


Online-options-trading-india Option-trade-tax Trading-card-games-online-magic-gathering Use-case-diagram-untuk-sistem perdagangan luar negeri Bagaimana-banyak-adalah-online-trading-academy-cost Stock-options-when-to-exercise

Opsi Vanila Apa Opsi Vanila Opsi vanili adalah instrumen keuangan yang memberi pemegang hak, namun bukan kewajiban, untuk membeli atau menjual aset, keamanan atau mata uang yang mendasar dengan harga yang telah ditentukan dalam jangka waktu tertentu. Pilihan vanili adalah panggilan biasa atau pilihan yang tidak memiliki fitur khusus atau tidak biasa. Ini mungkin untuk ukuran standar dan jatuh tempo, dan diperdagangkan di bursa seperti Chicago Board Options Exchange atau dibuat khusus dan diperdagangkan di atas meja. BREAKING DOWN Opsi Vanila Individu, perusahaan dan investor institusional dapat memanfaatkan fleksibilitas pilihan untuk merancang investasi yang paling sesuai dengan kebutuhan mereka untuk melakukan lindung nilai terhadap eksposur atau berspekulasi mengenai pergerakan harga instrumen keuangan. Jika pilihan vanila tidak sesuai, mereka bisa mengeksplorasi pilihan eksotis seperti opsi penghalang. Pilihan Asia dan pilihan digital. Pilihan eksotis memiliki fitur yang lebih kompleks dan umumnya diperdagangkan di atas meja mereka dapat digabungkan menjadi struktur kompleks untuk mengurangi biaya bersih atau meningkatkan leverage. Panggilan dan Penempatan Ada dua jenis pilihan vanili: panggilan dan penempatan. Pemilik telepon memiliki hak, namun tidak berkewajiban, untuk membeli instrumen yang mendasarinya dengan harga strike pemilik put memiliki hak, tapi bukan kewajiban, untuk menjual instrumen pada harga strike. Penjual opsi ini kadang-kadang disebut sebagai penulisnya menjual opsi tersebut menciptakan kewajiban untuk membeli atau menjual instrumen jika opsi tersebut dilakukan oleh pemiliknya. Setiap opsi memiliki strike price ini bisa dianggap sebagai targetnya. Jika harga pemogokan lebih baik dari harga di pasar pada saat jatuh tempo, pilihannya dianggap uang dan dapat dilakukan oleh pemiliknya. Pilihan gaya Eropa memerlukan pilihan uang pada tanggal kedaluwarsa pilihan gaya Amerika dapat dilakukan jika ada uang pada atau sebelum tanggal kadaluwarsa. Premi adalah harga yang dibayarkan untuk memiliki pilihan. Ukuran premi didasarkan pada seberapa dekat pemogokannya terhadap harga pasar saat ini yang akan datang untuk tanggal kedaluwarsa, volatilitas pasar dan opsi jatuh tempo. Volatilitas yang lebih tinggi dan kematangan yang lebih lama meningkatkan premi. Opsi memperoleh nilai intrinsik karena harga pasar mendekati atau melampaui harga strike. Pemilik opsi dapat menjualnya sebelum kadaluarsa untuk nilai intrinsiknya. Pilihan Eksotik Ada banyak jenis pilihan eksotis. Pilihan penghalang mencakup tingkat yang, jika tercapai di pasar sebelum kadaluarsa, menyebabkan opsi untuk mulai ada atau tidak ada lagi. Pilihan digital membayar pemiliknya jika tingkat harga tertentu dipukul. Opsi pembayaran Asia bergantung pada harga rata-rata perdagangan instrumen yang mendasari selama masa opsi. Struktur opsi menggabungkan pilihan vanila dan eksotis untuk menciptakan hasil yang disesuaikan. Opsi Tingkat Perkiraan Dijelaskan Diperbarui: 14 Juli 2016 at 8:48 AM Opsi mata uang adalah jenis kontrak derivatif valuta asing yang memberikan hak kepada pemegangnya, namun bukan Kewajiban, untuk melakukan transaksi forex. Untuk mempelajari lebih lanjut tentang forex trading, kunjungi forex untuk dummies disini. Secara umum, membeli opsi semacam itu akan memungkinkan trader atau hedger memilih untuk membeli satu mata uang terhadap mata uang lain dalam jumlah yang ditentukan pada atau pada tanggal tertentu dengan biaya di muka. Hak ini diberikan oleh penjual opsi dengan imbalan biaya di muka yang dikenal sebagai premium opsi. Dalam hal volume perdagangan mereka, opsi forex saat ini menyediakan sekitar 5 sampai 10 dari total omset yang terlihat di pasar valuta asing. Opsi Mata Uang Terminologi Alih jargon tertentu digunakan di pasar forex untuk menentukan dan mengacu pada persyaratan opsi mata uang. Beberapa opsi yang lebih umum terkait istilah didefinisikan di bawah ini: Latihan - Tindakan yang dilakukan oleh pembeli opsi untuk memberi tahu penjual bahwa mereka berniat memberikan opsi pada kontrak valuta asing yang mendasarinya. Tanggal Kadaluarsa - Tanggal terakhir dimana opsi tersebut dapat dilakukan. Tanggal Pengiriman - Tanggal kapan mata uang akan ditukar jika opsi dieksekusi. Call Option - Mengamankan hak untuk membeli mata uang. Letakkan Opsi - Mengamankan hak untuk menjual mata uang. Premium - Biaya di muka yang terlibat dalam membeli opsi. Strike Price - Tingkat di mana mata uang akan ditukar jika opsi dieksekusi. Faktor Opsi Harga Mata Uang Harga opsi mata uang ditentukan oleh spesifikasi dasar harga strike, tanggal kedaluwarsa, gaya dan apakah itu panggilan atau menempatkan pada mata uang mana. Selain itu, nilai opsi juga tergantung pada beberapa faktor yang ditentukan pasar. Secara khusus, parameter yang didorong pasar ini adalah: Suku bunga yang berlaku Suku bunga deposito antar bank untuk masing-masing mata uang Tingkat volatilitas saat ini tersirat untuk tanggal kedaluwarsa Volatilitas Terperinci pada Opsi Mata Uang Jumlah volatilitas tersirat unik untuk pasar opsi dan terkait dengan standar tahunan Penyimpangan pergerakan nilai tukar yang diharapkan oleh pasar selama masa pilihan. Pembuat pasar opsi memperkirakan faktor penetapan harga utama ini dan biasanya mengungkapkannya dalam persentase, membeli opsi saat volatilitas rendah dan opsi jual saat volatilitas tinggi. Contoh Trading Opsi Mata Uang Ketika opsi mata uang trading, pertama Anda harus ingat bahwa waktu benar-benar adalah uang dan bahwa setiap hari Anda memiliki opsi mungkin akan menghabiskan biaya dalam hal pembusukan waktu. Selanjutnya, pembusukan ini lebih besar dan karenanya menyajikan lebih banyak masalah dengan opsi tanggal pendek dibandingkan dengan opsi tanggal yang panjang. Dari segi contoh, perhatikan situasi trader forex teknis yang mengamati simetris segitiga pada grafik harian di USDJPY. Segitiga juga terbentuk selama beberapa minggu, dengan struktur gelombang internal yang terdefinisi dengan baik yang memberi kepastian cukup tinggi bahwa pelarian sudah dekat, meskipun mereka tidak yakin ke arah mana akan terjadi. Juga, volatilitas - elemen kunci yang mempengaruhi penetapan harga opsi mata uang - dalam USDJPY telah menurun selama periode konsolidasi. Ini membuat opsi mata uang USDJPY relatif murah untuk dibeli. Untuk menggunakan opsi mata uang untuk memanfaatkan situasi ini, trader bisa sekaligus membeli opsi USD CallJPY Put dengan strike price yang ditempatkan pada level triangle pattern garis tren turun atas, serta opsi USD PutJPY Call dipukul pada level. Dari segitiga garis tren naik yang lebih rendah. Dengan cara ini, ketika pelarian terjadi dan volatilitas di USDJPY kembali meningkat, trader dapat menjual opsi yang tidak mendapatkan keuntungan dari pergerakan lebih lanjut ke arah pelarian sambil menahan opsi lain untuk mendapatkan keuntungan lebih jauh dari pergerakan terukur yang diperkirakan dari grafik. pola. Penggunaan Pilihan Mata Uang Pilihan mata uang telah menikmati reputasi yang berkembang sebagai alat bantu bagi hedger untuk mengelola atau memastikan risiko valuta asing. Misalnya, perusahaan A.S. yang ingin melakukan lindung nilai terhadap kemungkinan masuknya Poundsterling karena penjualan anak perusahaan Inggris yang ditangguhkan dapat membeli Pound Sterling putU.S. Panggilan dolar Contoh Hedging Opsi Mata Uang Dalam hal strategi lindung nilai mata uang sederhana menggunakan opsi, pertimbangkan situasi pengekspor barang pertambangan di Australia yang mengantisipasi, namun belum pasti, pengiriman produk pertambangan yang dimaksudkan untuk dikirim ke penyempurnaan lebih lanjut ke Amerika Serikat Dimana mereka akan dijual dengan harga US Dollar Mereka bisa membeli opsi call Aussie Dollar. Dollar menempatkan opsi sebesar nilai diantisipasi dari pengiriman tersebut dimana mereka kemudian akan membayar premi terlebih dahulu. Selanjutnya, tanggal jatuh tempo yang dipilih dapat sesuai dengan kapan pengiriman dengan aman diperkirakan akan dibayarkan secara penuh dan harga pemogokan bisa berada di pasar saat ini atau pada tingkat untuk nilai tukar AUDUSD dimana pengiriman akan menjadi tidak menguntungkan bagi perusahaan. . Sebagai alternatif, untuk menghemat biaya premi, eksportir hanya bisa membeli opsi kapan pun ada ketidakpastian tentang pengiriman dan tempat tujuannya kemungkinan akan dihapus dan ukurannya diperkirakan akan menjadi hampir pasti. Dalam kasus ini, mereka kemudian dapat mengganti opsi tersebut dengan kontrak berjangka untuk menjual Dolar A.S. dan membeli dolar Australia dalam ukuran kesepakatan yang sekarang diketahui. Dalam kedua kasus tersebut, ketika produsen pertambangan opsi CallUSD Put diterbitkan habis atau dijual, keuntungan yang dicapai di dalamnya akan membantu mengimbangi perubahan yang tidak menguntungkan dalam harga nilai tukar AUDUSD yang mendasarinya. Penggunaan opsi mata uang yang lebih banyak Opsi forex juga membuat kendaraan spekulatif yang berguna bagi para pedagang strategis institusional untuk mendapatkan profil keuntungan dan kerugian yang menarik, terutama saat melakukan perdagangan pada tampilan pasar jangka menengah. Bahkan trader forex pribadi yang berurusan dengan ukuran yang lebih kecil dapat memperdagangkan opsi mata uang di bursa berjangka seperti Chicago IMM, dan juga melalui beberapa broker forex ritel. Beberapa broker ritel juga menawarkan produk STOP atau Single Payment Option Trading yang harganya mahal, namun memberikan hadiah tunai jika pasar diperdagangkan pada harga strike. Ini serupa dengan opsi mata uang eksotis biner atau digital. Pilihan Mata Uang Gaya dan Pilihan Latihan Pilihan mata uang biasa datang dalam dua gaya dasar yang berbeda bila pemegangnya dapat memilih untuk menggunakan atau melatihnya. Pilihan seperti itu juga sering dikenal sebagai pilihan vanili polos atau hanya vanili untuk membedakannya dari varietas pilihan yang lebih eksotis yang dibahas di bagian selanjutnya dari kursus ini. Gaya yang paling umum diperdagangkan di pasar forex Over-the-Counter atau OTC adalah pilihan Gaya Eropa. Pilihan gaya ini hanya bisa dilakukan pada tanggal kadaluwarsa sampai waktu cutoff tertentu, biasanya pukul 22.00 waktu Tokyo, London atau New York. Namun demikian, gaya yang paling umum untuk opsi pada futures mata uang, seperti yang diperdagangkan di bursa IMM Chicago, dikenal dengan gaya Amerika. Gaya pilihan ini dapat dilakukan kapan saja sampai dan termasuk tanggal kadaluwarsa. Fleksibilitas pilihan gaya Amerika ini dapat menambah nilai ekstra pada premi mereka dibandingkan dengan pilihan gaya Eropa yang kadang-kadang disebut Ameriplus. Namun demikian, pilihan awal pilihan Gaya Amerika biasanya hanya masuk akal untuk mengetahui opsi uang beredar mengenai tingginya tingkat suku bunga, dan menjual opsi tersebut biasanya akan menjadi pilihan yang lebih baik dalam kebanyakan kasus. Pernyataan Risiko: Perdagangan Valuta Asing dengan marjin membawa tingkat risiko tinggi dan mungkin tidak sesuai untuk semua investor. Kemungkinan ada bahwa Anda bisa kehilangan lebih dari setoran awal Anda. Tingkat leverage yang tinggi dapat bekerja melawan Anda dan juga untuk Anda. Mempromosikan dan melakukan lindung nilai opsi vanili polos FX Transkripsi 1 Harga dan lindung nilai opsi vanilla polos FX Studi empiris mengenai kinerja lindung nilai dari lencana delta Black-Scholes dinamis dengan memperbarui Volatilitas tersirat di bawah asumsi Heston dan Black-Scholes yang mendasari dinamika, masing-masing, dalam interpolasiextrapolasi harga opsi. Jannik Noslashrgaard MSc Finance Thesis Supervisor: Elisa Nicolato Jurusan Ilmu Bisnis Aarhus School of Business, Universitas Aarhus Agustus 2011 2 c Jannik Noslashrgaard 2011 Tesis ini telah diketik dengan Computer Modern 12pt Layout dan tipografi dibuat oleh penulis menggunakan LA TEX Penulis Mengucapkan terimakasih berikut ini: Pengawas saya Elisa Nicolato, Peneliti di Aarhus School of Business di Finance Research Group, Aarhus, Denmark untuk mendapatkan saran. Terima kasih kepada Matthias Thul, Kandidat PhD di bidang Keuangan di Australian School of Business, New South Wales, Sydney, Australia untuk menjawab pertanyaan. Saya berterima kasih kepada orang-orang yang telah membantu saya mendapatkan akses ke terminal Bloomberg di Universitas Aarhus dan juga karyawan di meja layanan Bloomberg untuk menjawab pertanyaan saya. Terakhir, berkat Nordea karena telah memberi saya akses ke platform Nordea Markets, Nordea Analytics, dari tempat saya mengumpulkan data tambahan. 3 Saya ingin mengambil kesempatan untuk mengucapkan terima kasih kepada orang tua saya atas dukungan tanpa syarat mereka selama tahun-tahun belajar saya. 4 Abstrak Tesis ini menunjukkan bukti melawan asumsi Black-Scholes mengenai proses difusi untuk harga aset log yang memiliki kenaikan normal stasioner dan independen yang menghasilkan distribusi pengembalian aset normal log dengan mempertimbangkan rangkaian harga spot pada EURUSD Dan USDJPY yang mencakup periode beberapa tahun terakhir. Pengamatan distribusi menunjukkan peakness tinggi dan quotfat tailsquot serta pengamatan volatilitas clustering didukung oleh bukti empiris heteroskedastisitas, yang menyiratkan bahwa volatilitas pengembalian tidak konstan dari waktu ke waktu, dan bukti autokorelasi. Untuk mengkalibrasi model Heston dan model Black-Scholes untuk harga pasar pada pilihan panggilan vanili polos tesis ini berkaitan dengan konvensi penawaran khusus valuta asing dan mempertimbangkan perbedaan di sini antara EURUSD dan USDJPY. Sebuah kumpulan data dari 371 hari perdagangan baru-baru ini dikumpulkan dari kutipan yang dipublikasikan di Bloomberg dimana masing-masing model dikalibrasi ke satu set harga opsi pada setiap hari untuk mendapatkan kebaikan secara keseluruhan dari ukuran yang sesuai yang menunjukkan kinerja superior model Heston. Dalam kasus kedua pasangan FX yang mendasari, permukaan volatilitas secara negatif condong berbentuk sepanjang periode yang dipertimbangkan. Berdasarkan kalibrasi, eksperimen lindung nilai skala besar disiapkan di mana sejumlah opsi panggilan vanilla polos dengan jatuh tempo dan pemogokan yang berbeda dijual setiap hari. Lindung nilai Delta Delta yang dinamis dengan peningkatan volatilitas tersirat yang disimulasikan di masing-masing model menghasilkan kinerja lindung nilai yang lebih baik ketika dinamika yang mendasari mengikuti model Heston. Selanjutnya kita amati bahwa kesalahan lindung nilai berkorelasi dengan tingkat pengembalian yang mendasarinya. 5 Daftar Isi Daftar Gambar Daftar Tabel i iii v 1 Pendahuluan 1 2 Soal Pernyataan Pendekatan Penelitian Delimitasi FX Market FX rate FX forward contract Opsi FX Model Black-Scholes Motion Brown Geometris Persamaan Black-Scholes Formula Garman-Kohlhagen Simulasi Model Black-Scholes Fakta empiris Distribusi pengembalian FX Model Heston Proses Simulasi solusi model Heston Data pasar 29 I 6 7.1 Mengutip konvensi Mengambil volatilitas tersirat Deskripsi data 35 9 Kalibrasi model Membangun pasar volatilitas tersirat Permukaan Kalibrasi model Heston Kalibrasi Model Black-Scholes Tujuan Fungsi Hasil Kalibrasi Studi empiris pada kinerja lindung nilai Ukuran penelitian Tingkat strike Portofolio lindung nilai Hasil Kesimpulan 55 Bibliografi 57 A Mengambil harga strike yang sesuai dengan premi termasuk Delta 60 B Membangun pasar tersirat permukaan volatilitas 63 C Calibrati Pada model Heston 76 D Kalibrasi model Black-Scholes 82 E Simulasi model Heston 85 F Simulasi model Black-Scholes 89 G Tidak ada hedge 92 H Dynamic BS Delta Hedge dengan mengupdate imp. Vol. Dari model Heston 97 I Dynamic BS Delta Hedge dengan mengupdate imp. Vol. Dari model Black-Scholes 109 ii 7 Daftar Gambar 5.1 Frekuensi sampel empiris untuk EURUSD Frekuensi sampel empiris untuk plot USDJPY QQ untuk plot EURUSD QQ untuk USDJPY Log harian kembali untuk EURUSD Log harian kembali untuk USDJPY Autocorrelation untuk EURUSD Autocorrelation for USDJPY Rolling historic volatility Untuk EURUSD Menggulung volatilitas historis untuk USDJPY Rata-rata pergerakan satu minggu kappa Rata-rata pergerakan satu minggu satu minggu Rata-rata pergerakan satu minggu di eta Rata-rata pergerakan satu minggu rho Rata-rata pergerakan minggu pertama harga panggilan 1M pada EURUSD 14 Harga panggilan 1Y pada EURUSD 14 Imp . Vol. 1M pada EURUSD 14 Imp. Vol. 1Y pada EURUSD 14 Harga panggilan 1M pada EURUSD 61 Harga panggilan 1Y pada EURUSD 61 Imp. Vol. 1M pada EURUSD 61 Imp. Vol. 1Y pada EURUSD 61 Harga panggilan 1M pada USDJPY 14 Harga panggilan 1Y pada USDJPY 14 Imp. Vol. 1M pada USDJPY 14 Imp. Vol. 1Y pada USDJPY 14 Harga panggilan 1M pada USDJPY 61 Harga panggilan 1Y pada USDJPY 61 iii 8 9.20 Imp. Vol. 1M di USDJPY 61 Imp. Vol. 1Y pada USDJPY 61 Perkembangan spot rate EURUSD Perkembangan kurs spot USDJPY iv 9 Daftar Tabel 5.1 Uji Jarque-Bera pada normalitas Uji Levene pada persamaan varians Premi termasuk Konversi Delta dari Delta Termasuk Premium ke Strike Triwulanan dan deviasi standar Kebaikan sesuai parameter Heston Mean triwulanan dan standar deviasi nilai parameter parameter Heston Black-Scholes pada 142010 dan 612010 pada nilai parameter EURUSD Heston pada 142010 dan 612010 pada nilai parameter USDJPY Black-Scholes pada 142010 dan 612010 Pada EURUSD dan USDJPY Jumlah opsi yang diselidiki Jumlah opsi kedaluwarsa dalam periode triwulanan Tingkat Delta rata-rata opsi pemberian EURUSD korsleting pada saat inisiasi Tingkat suku bunga rata-rata opsi pemanggilan USDJPY pada saat inisiasi Jumlah opsi panggilan EURUSD yang akan berakhir dalam jumlah uang Dari opsi call USDJPY yang habis masa berlakunya di-the-money Laba dan rugi rata-rata dan deviasi standar pada kesalahan lindung nilai w Ith Black-Scholes dan Heston pricing v 10 1 Pendahuluan Dalam dunia finansial yang mengalami crash pasar dimulai dengan Black Monday pada tahun 1987, pengenalan pergerakan pasar yang ekstrem telah memunculkan pertimbangan kembali asumsi di balik harga instrumen keuangan seperti opsi Pada saham maupun valuta asing. Di masa lalu, para pelaku pasar dan praktisi lebih mengandalkan model Black-Scholes dan anggapan tentang pengembalian aset sedangkan pada saat ini harga opsi pasar tidak mencerminkan perkiraan yang diprediksi oleh model Black-Scholes. Sebagai gantinya, sebuah keluarga dengan model volatilitas stokastik telah muncul, dengan model Heston menjadi yang paling terkenal, dengan asumsi yang lebih realistis mengenai distribusi probabilitas pengembalian aset saat ini. Meski begitu, model Black-Scholes diterapkan oleh pelaku pasar dan praktisi dalam pengelakan yang menghindari kekurangannya. Tesis ini menggabungkan penerapan kedua jenis model tersebut dan mencoba untuk menemukan kesalahan spesifikasi harga dan, dalam sebuah penelitian empiris, menyelidiki jika seseorang lebih menyukai yang lain mengingat penetapan harga dan lindung nilai tertentu. Di bab 3, kita mulai dengan memberi pengantar opsi pasar valas FX dan FX plain vanila, yang diperdagangkan over-the-counter (OTC). Fakta ini mempengaruhi data yang dikumpulkan untuk mewakili harga pasar, yang dalam hal ini diambil dari Bloomberg dimana permukaan volatilitas bebas arbitrase dilaporkan dari kumpulan kutipan opsi dari beberapa kontributor yang mewakili lembaga keuangan terbesar di dunia. Sebagai lawan dari opsi exchange traded yang dikutip dengan tanggal jatuh tempo tetap dan dengan dimulainya opsi baru hanya pada tanggal tetap, dari Bloomberg kami dilengkapi dengan serangkaian pilihan baru setiap hari yang mencakup rentang jatuh tempo yang sama hanya dengan masa berlaku yang berakhir Hari kemudian dari pilihan dikutip hari sebelumnya. 1 11 Bab 4 mencakup model Black-Scholes (BS) dan asumsi tentang pengembalian aset yang terdistribusi secara lognormal. Dengan minat khusus pada harga opsi FX, kami menyajikan formula Garman-Kohlhagen, yang merupakan perpanjangan sederhana model BS. Dalam bab ini, kami selanjutnya memperkenalkan konsep fungsi kepadatan probabilitas tersirat dan penilaian netral risiko. Akhirnya kami menyajikan simulasi model BS. Pada Bab 5 kita menganalisis distribusi pengembalian log FX dengan mempertimbangkan sampel tahun-tahun terakhir dengan tingkat suku bunga FX dan membandingkannya dengan asumsi tingkat pengembalian normal log-normal dalam model BS. Temuan di sini mengilhami untuk mempertimbangkan asumsi yang berbeda mengenai distribusi pengembalian kayu, yang membawa kita untuk memperkenalkan model volatilitas stokastik di bab berikutnya. Bab 6 kemudian memperkenalkan proses dan solusi bentuk tertutup untuk model Heston. Dalam kalibrasi model Heston, kami mengkalibrasi solusi bentuk tertutup ini dengan integrasi numerik. Selanjutnya kami menyajikan simulasi model Heston yang dilakukan dalam kerangka solusi pencampuran yang disimulasikan dalam skema Milstein. Sebelum studi empiris, kami menyajikan Bab 7, yang menjelaskan konvensi penawaran khusus FX. Lebih komprehensif daripada pasar opsi lainnya, pasar opsi FX memiliki berbagai kemungkinan konvensi yang perlu ditangani dengan benar agar dapat membangun permukaan volatilitas berdasarkan harga penawaran di pasar. Lebih khusus lagi volatilitas dikutip dalam struktur perdagangan yang perlu dikonversi. Apalagi pilihannya dikutip dari segi Delta dalam dimensi moneyness. Bergantung pada konvensi Delta dari pasangan FX tertentu, kita perlu menggunakan teknik estimasi numerik untuk mendapatkan tingkat pemogokan. Bab 8 terdiri dari ikhtisar data yang digunakan dalam studi empiris. Pada bab 9, kami kemudian mengkalibrasi model BS dan model Heston ke setiap hari dari 371 hari perdagangan dalam periode dari 14 222011. Kami menyajikan fungsi objektif dan skema pembobotan warisan yang umum bagi kedua model. Selanjutnya kami menganalisis sensitivitas permukaan volatilitas terhadap perubahan parameter Heston dengan melihat dua hari yang berbeda. Juga perbandingan antara kemampuan kedua model agar sesuai dengan harga pasar yang teramati dilakukan dengan menghitung goodness of fit untuk masing-masing model. Pada bab 10 kami menyusun strategi lindung nilai yang terdiri dari lencana Delta Delta yang dinamis dengan memperbarui volatilitas tersirat yang disimulasikan dalam model BS dan disimulasikan dalam model Heston. Lebih khusus lagi, kami melakukan lindung nilai sejumlah opsi panggilan korslet dengan tingkat jatuh tempo dan strike yang berbeda. Kami kemudian mengidentifikasi elemen mana yang mengubah nilai portofolio lindung nilai. Akhirnya kami menyajikan temuan penelitian yang membandingkan model BS sebagai alat dalam interpolasiextrapolasi perubahan 2 volatilitas tersirat ke model Heston dengan membandingkan kinerja lindung nilai dari lindung nilai Delta Delta yang sama. 3 13 2 Soal Pernyataan Dalam penelitian ini kita mempertimbangkan dua pasangan FX EURUSD dan USDJPY. Kita mulai dengan pertanyaan penelitian pendahuluan berikut: I. Bagaimana pengembalian FX didistribusikan dengan mempertimbangkan periode tahun-tahun terakhir II. Bagaimana distribusi pengembalian FX dibandingkan dengan asumsi tentang pengembalian aset terdistribusi normal log dalam model Black-Scholes Seperti yang ditunjukkan oleh (Reiswich dan Wystrup, 2010), prosedur konstruksi senyum dan mekanisme penawaran volatilitas adalah FX spesifik dan berbeda Secara signifikan dari pasar lain. Pelaku pasar yang memasuki pasar derivatif FX OTC dihadapkan pada fakta bahwa senyum volatilitas biasanya tidak langsung terlihat di pasaran. Tidak seperti di pasar lain, senyum FX diberikan secara implisit sebagai seperangkat batasan yang tersirat oleh instrumen pasar. Hal ini membawa kita pada pertanyaan: III. Bagaimana kita menangani konvensi penawaran khusus FX agar berakhir dengan harga pasar berdasarkan opsi vanili polos. Dalam sebuah makalah yang baru-baru ini mengutip strategi hedging untuk memperkirakan probabilitas model dan perhitungan perhitungan (Elices, 2011), penulis mempelajari kinerja lindung nilai model BS dan metode Vanna-Volga dengan mengasumsikan bahwa permukaan volatilitas pasar didorong oleh dinamika Heston yang dikalibrasi Ke pasar untuk horison waktu tertentu. Strategi lindung nilai tersebut kemudian dibangun untuk menetralisir faktor ketidakpastian dalam model Heston yang terdiri dari titik dan volatilitas. Dengan cara yang sama, kita bergantung pada model bangunan tergantung dari permukaan volatilitas dengan kalibrasi model BS dan model Heston, masing-masing, terhadap harga pasar yang teramati. 4 14 IV. Seberapa baik model Black-Scholes dan Heston, masing-masing, mencerminkan seperangkat harga pasar pada pilihan vanili polos selama periode terakhir. Kemudian, kami menggunakan kalibrasi ini untuk menyelidiki seberapa baik strategi lindung nilai Delta murni, dengan Delta dihitung sebagai BS Delta, mampu mereplikasi hasil kontrak opsi call vanilla polos. Kami membuat pengaturan di mana satu set pilihan FX vanilla polos Eropa dengan jatuh tempo dan pemogokan yang berbeda dijual setiap hari selama periode 371 hari perdagangan. Dengan delta melakukan lindung nilai setiap kontrak opsi secara terpisah sampai kadaluwarsa, kami memperoleh kesalahan lindung nilai yang kami ekspresikan sebagai selisih antara imbalan kontrak opsi dan portofolio lindung nilai. Dua eksperimen disiapkan di mana kita menghitung Delta BS secara dinamis dengan volatilitas yang diperbaharui dari model Black-Scholes dan peningkatan volatilitas tersirat dari model Heston. Hal ini menyebabkan pertanyaan penelitian terakhir: V. Menerapkan lencana Delta Delta yang dinamis dengan memperbarui volatilitas tersirat berdasarkan asumsi dinamika Black-Scholes yang mendasari, apakah standar deviasi kesalahan lindung nilai untuk setiap kontrak opsi VI. Menerapkan lencana Delta Delta yang dinamis dengan memperbarui volatilitas tersirat di bawah asumsi dinamika Heston, apakah standar deviasi kesalahan lindung nilai untuk setiap opsi kontrak VII. Apakah hasil dari lindung nilai berkorelasi dengan return pasar 2.1 Pendekatan Penelitian Kami mengemukakan dan memperdebatkan pilihan pendekatan penelitian kami di tiga bidang tesis: Masuknya dua pasangan FX yang berbeda, bangunan permukaan volatilitas tersirat dan kisarannya. Dari harga opsi yang digunakan untuk membangun permukaan volatilitas tersirat. Kami memilih untuk memasukkan EURUSD dan USDJPY dalam penelitian ini karena terutama satu alasan. Konvensi penawaran untuk kedua pasangan berbeda dan dengan memasukkan kedua hal tersebut, kami menunjukkan bagaimana menangani konvensi penawaran yang berbeda ini. Selain alasan ini, permukaan volatilitas kedua pasangan ini secara historis memiliki bentuk yang berbeda dengan EURUSD yang menunjukkan lebih banyak simetris simetris dan USDJPY menunjukkan langkah miring (Bossens, Rayee, Skantzos, dan Deelstra, 2010), (Beneder dan Elkenbracht-Huizing, 2003), (Chalamandaris dan Tsekrekos, 2008). Seperti penelitian lain, ini adalah upaya untuk mencakup serangkaian kondisi pasar yang berbeda (Bossens, Rayee, Skantzos, dan Deelstra, 2010). 5 15 Kami mengkalibrasi data mentah dimana tidak ada interpolasi atau ekstrapolasi yang terjadi sebelumnya. Sebagai alternatif, kita bisa menggunakan parametrisation SVI (Gatheral, 2006) atau beberapa bentuk fungsional lainnya untuk membangun permukaan terlebih dahulu dan kemudian mengkalibrasi ke satu set harga interpolatedextrapolated. Kami mengkalibrasi hanya beberapa pilihan yang menghitung 5 jatuh tempo yang berbeda dan 5 tingkat pemogokan yang berbeda. Hal ini dilakukan karena dua alasan. Pertama, kami ingin mengkalibrasi hanya dengan data mentah yang belum diinterpolasi dalam skema interpolasi Bloomberg sendiri, yang dapat dilihat pada (Bloomberg, 2011). Interpolasi Bloomberg didasarkan pada ATM, 25 Delta dan 10 tanda kutip Delta dan jika tersedia juga dan 5 Delta (Bloomberg, 2009). Fakta ini memastikan bahwa kami hanya mengkalibrasi data mentah. Kedua, banyak usaha telah beralih ke pengembangan metode yang mampu membangun permukaan volatilitas tersirat penuh dengan hanya beberapa pilihan harga opsi (Malz, 1997), (Castagna dan Mercurio, 2006), (Reiswich dan Wystrup, 2010). Pada pasar opsi OTC, seringkali hanya beberapa harga yang tersedia dan kami ingin membatasi studi ini untuk memasukkan hanya harga yang paling sering tersedia. Tesis ini menggunakan kisaran harga opsi yang sama dari sumber yang sama seperti pada artikel U. Wystrup dan D. Reiswich. Volatility Smile Constructionquot (Reiswich dan Wystrup, 2010) dengan menggunakan ATM, RR 10D, 25D RR, 10D VWB dan 25D Kutipan VWB dipublikasikan di Bloomberg. 2.2 Delimitasi Tesis ini terbatas di daerah dimana penambahan akan membawa akurasi dan detail lebih dalam penelitian ini. Untuk menguji model penetapan harga untuk misspecifications, eksperimen lindung nilai klasik seperti yang dilakukan pada (Bakshi, Cao, dan Chen, 1997) dan (Elices, 2011) dapat dilakukan. Di sini, mereka menguji kemampuan model untuk mereplikasi opsi pembayaran dengan mengambil posisi di semua aset yang diperlukan untuk menetralisir risiko dengan jumlah tersebut bergantung pada asumsi model penetapan harga yang diberikan. Untuk model Heston ini menyiratkan mengambil posisi di kedua opsi yang mendasarinya dan pilihan lain untuk mendapatkan lindung nilai delta-netral. Dalam tesis ini kita membatasi diri untuk hanya mengambil posisi dalam satu aset, yang mendasarinya. Jadi penelitian ini tidak dapat diklasifikasikan berdasarkan pendekatan konvensional seperti ini. Pengaturan suku bunga dalam penelitian ini disederhanakan. Belum ada struktur struktur suku bunga yang akan digunakan dalam simulasi opsi harga 6 16 model. Kita juga tidak mempertimbangkan model penentuan harga opsi dengan suku bunga stokastik seperti di (Bakshi, Cao, dan Chen, 1997). Juga kita mengabaikan topik risiko default pada suku bunga yang merupakan topik hangat hari ini setelah krisis keuangan saat ini. Tidak ada model lompatan yang telah dianggap seperti volatilitas stokastik ditambah lompatan pada model (SVJ) yang mendasari. Jenis model ini lebih baik dalam merefleksikan permukaan volatilitas dalam jangka pendek dibandingkan dengan model volatilitas stokastik (Gatheral, 2006). Mengingat kedua pasangan FX termasuk dalam penelitian ini, dan bentuk permukaan volatilitasnya masing-masing, model SVJ mungkin bahkan tidak dapat memperbaiki harga sesuai dengan volume stokastik. model. Periset menunjukkan penyesuaian yang mungkin dari kutipan volatilitas pada pasar miring yang miring (Reiswich dan Wystrup, 2010), (Bossens, Rayee, Skantzos, dan Deelstra, 2010), (Castagna, 2010). Tentang konvensi pemungutan suara di pasar opsi valuta asing dan pentingnya penyesuaian spesifik kutipan kupu-kupu vega (VWB), berikut ini adalah ucapannya. Inkonsistensi pasar yang dapat dengan aman diabaikan dalam banyak situasi dan konfigurasi harga, namun dapat memiliki dampak yang mendalam pada bangunan permukaan yang tidak stabil di tempat lain. (Castagna, 2010, hal 116). Kami telah mengecualikan perkiraan penyesuaian semacam itu. Mungkin keterbatasan yang paling penting dalam penelitian ini adalah banyaknya simulasi yang digunakan. Hal ini menyangkut simulasi model Heston dan model BS dalam eksperimen lindung nilai yang disiapkan. Ketepatan harga dalam model Heston dapat ditingkatkan dengan meningkatkan jumlah simulasi, sehingga menghasilkan kinerja lindung nilai yang lebih baik, dengan asumsi. 7 17 3 FX Market 3.1 FX rate Kurs valuta asing (FX rate) adalah harga satu mata uang dalam mata uang lain. Kedua mata uang tersebut membuat pasangan mata uang. Sebagai contoh, ini bisa jadi pasangan mata uang berlabel EURUSD. Ini adalah nilai tukar dolar eurous dan pada akhir hari perdagangan pada tanggal 1 Mei 2011 ini dikutip di This is the convention on quote quote this currency cross, tapi setara dengan USDEUR. Yang hanya nilai timbal balik dari tingkat FX pertama. Nilai tukar EURUSD menunjukkan berapa dollar AS yang bernilai 1 euro. Mata uang domestik (numeraire) adalah dolar AS dan mata uang asing (base) adalah euro. Jadi secara umum, nilai tukar adalah harga mata uang dasar dalam hal mata uang numeraire. Terakhir kali dolar AS bernilai lebih dari satu euro pada tanggal 4 Desember 2002 pada hari mana nilai tukar dikutip di Sejak setelah diperkenalkannya koin euro dan uang kertas pada tanggal 1 Januari 2002 ini adalah satu-satunya year that the US dollar has been worth more than the euro, reflected in an exchange rate less than FX forward contract The forward contract provides a hedge for someone who wants to lock in the exchange rate for a future transaction. The buyer of a forward contract is then guaranteed a future exchange rate. The forward price is decided as F 0 S 0 e (rd r f )T (3.1) 8 18 The underlying asset in such contracts is a certain number of units of the foreign currency. The variable S 0 is defined as the spot price in domestic currency of one unit of the foreign currency and equivalently F 0 is the forward price in domestic currency of one unit of the foreign currency. Both domestic and foreign interest rates are the continuously compounded risk-free interest rates per annum Interest rate parity Equation 3.1 is exactly the interest rate parity, which in its continuous compounding form is often equated as F (t, T ) S t e rf (T t) e rd (T t) (3.2) or by its money market conventions for capitalization and discounting, i.e simple compounding (Castagna, 2010, p. 7) F (t, T ) S t (1 r f )(T t) (1 r d )(T t) (3.3) where r f and r d are the risk-free interest rates per annum and (T-t) follow the time convention of 360 trading days in a year. According to the interest rate parity, the forward exchange rate of a given currency pair is determined by the respective risk-free interest rates. As an example, we consider a holder of one unit of foreign currency. There are two ways that this can be converted into domestic currency at time T. One is by investing it for (T t) years at r f and at the same time selling a forward contract. Then at time T you would be obligated to sell the proceeds from the investment to collect domestic currency. The other possibility is to exchange the foreign currency to domestic in the spot market and then invest these at r d for (T-t) years. In the absence of arbitrage opportunities equation 3.4 should then hold (Hull, 2008, p. 113), which is exactly equation 3.2 rewritten. e rf (T t) F 0 S 0 e rd (T t) (3.4) The interest rate parity presented here is also called the covered interest rate parity as opposite to the uncovered interest rate parity (Oldfield and Messina, 1977). The former comes from the fact that the trading strategy is risk-free. This is opposite to the latter where you as a holder of the foreign currency still invest in r f, but instead 9 19 of simultaneously entering into a forward contract, you instead keep your position in foreign currency uncovered and exposed to the movement in the exchange rate from t to (T t). Empirical research shows that for developed countries, the covered interest rate parity holds fairly well. Prior to the dismantling of capital controls, and in many emerging markets today (interpreted as political risk associated with the possibility of governmental authorities placing restrictions on deposits located in different jurisdictions), the covered interest rate parity is unlikely to hold (Chinn, 2007). From an option pricing point of view the covered interest parity is an underlying assumption in one of the option pricing models introduced later on here. 3.3 FX options FX options are traded Over-The-Counter (OTC) as opposite to exchange traded options. As a trading platform an exchange serves as a link between a buyer and a seller. The exchange will be providing bid and ask quotes and will be on either one or the other end of the transaction. The market making is in this case carried out by the exchange. In the case of FX options there is no exchange involved in the transaction. A trade will be processed directly between buyer and seller. In one setting, one might think of a buyer being a corporation that is trading from a hedging or speculative point of view and the seller being a bank. On the FX options market one might think of the banks as market makers providing the prices on options and other FX derivatives. In order to hedge a foreign exchange exposure FX options are an alternative to FX forward contracts. The payoff from a long position in a European call option is max(s T K, 0) (3.5) and the payoff from a long position in a European put option is max(k S T, 0) (3.6) with S T being the spot exchange rate at maturity T of the option and K the agreed upon strike price. 10 20 Assuming we have the pair EURUSD, two counterparties entering into a plain vanilla FX option contract can agree on the following, according to the type of option traded: Type EUR call USD put: The buyer has the right to enter at expiry into a spot contract to buy (sell) the notional amount of EUR (USD), at the strike FX rate level K. Type EUR put USD call: The buyer has the right to enter at expiry into a spot contract to sell (buy) the notional amount of EUR (USD), at the strike FX rate level K. Considering, as an example, the last type listed above, an American company due to receive euro at a known time in the future can hedge its risk by buying put options on euro that mature at that time. This strategy guarantees that the value of the euros will not be less than the strike price while still allowing the company to benefit from any favorable upward movements in the exchange rate. Similarly, if the company where to pay euros in the future they could hedge their expose to upward movements in the exchange rate by buying calls on euros, the first type listed above. whereas forward contracts locks in the exchange rate for a future transaction and guarantees the parties an exchange rate, as described above, an option provides a type of insurance. It costs nothing to enter into a forward contract, whereas options require a premium to be paid paid up front in order to be insured. 11 21 4 The Black-Scholes model This chapter reviews the most well-known option pricing model, The Black-Scholes model (Black and Scholes, 1973), because of its inclusion in the empirical study. Also it remains the building block of present option pricing models, including the Heston model and the Bates model. 4.1 Geometric Brownian Motion Black-Scholes assumes the underlying spot price to follow a geometric Brownian motion generating log-normally distributed returns, the spot price in this case being the exchange rate on any given FX pair. The process is stochastic by including a Wiener process that introduces the randomness to the spot price. ds t micros t dt sigmas t dw S t (microdt sigmadw ) (4.1) The spot price S t depends on S t itself, a constant drift, micro, a constant volatility term, sigma, and a standard Wiener process, W t, where dt is denoting a time differential. In order to obtain the explicit solution to this stochastic differential equation (SDE) we consider equation 4.2 the process of logs, i.e. the process describing the log-returns. dlogs t (micro 1 2 sigma2 )dt sigmadz (4.2) i.e logs T logs 0 (micro 1 2 sigma2 )T sigmadz (4.3) 12 22 and the explicit solution is then obtained by taking the exponential of logs S T S 0 e (micro 1 2 sigma2 )T sigmaz T (4.4) 4.2 The Black-Scholes equation With the empirical study of this thesis in mind we have a look at the derivation of the Black-Scholes (BS) equation which is governing the BS option pricing formula. This will tell us the principle of delta hedging. Furthermore we take a look at the necessary adjustments to the Black Scholes equation in order to be able to price FX options in particular. As a note it is not in the interest of this thesis to go through the derivation of the solution to the BS equation that will lead to the BS formula. The Black-Scholes equation can be derived in many alternative ways i.e. using empirically established financial theories such as the CAPM and Arbitrage Pricing theory. The most general derivation assumes an economy with only the underlying asset and a risk-free money market depositrisk-free bond which together makes up the replicating portfolio of the value of the derivative. Meanwhile, the original derivation uses what is known as the hedging argument, and that is the derivation that we will outline here (Rouah, 2011). The derivation follows from imposing the condition that a risk-free portfolio made up of a position in the underlying asset and the option on that asset must return the same interest rate as other risk-free assets. As a result of this Black and Scholes propose that if it is possible to hedge an option position by dynamically rebalancing a stock position, then the price of a European call option should depend on the underlying spot price, S t (i.e. the FX rate), and the time to maturity on the option, T. In order to perform such a hedge Black and Scholes assumes a set of conditions to hold that they call the ideal market condition: The FX rate, S t, follows the geometric Brownian motion with known constant drift, micro, and volatility, sigma. The option can be exercised only at maturity. Trading takes place continuously in time. Money can be borrowed and lend at the same risk-free interest rate. Short selling is allowed. 13 23 Short-term risk-free interest rates (r d and r f ) are known and constant. The underlying asset pays no dividends. (This assumption is relaxed in the case of FX options.) We consider a portfolio made up of a quantity of the risky asset (i.e. the FX pair) and short one option on the FX pair (a put or a call, not yet specified). Let f(s, t) denote the value of the option and Pi(t) the value of the portfolio. Pi(t) S f(s, t) (4.5) is chosen at every time t so as to make the portfolio riskless. The self-financing assumption implies that dpi(t) ds df(s, t) (4.6) In order to decide the quantity to meet this condition we want to know the dynamics of f(s, t). Here we use Ito s Lemma, which is a rule for calculating differentials of quantities dependent on stochastic processes. df(s, t) f f dt t S ds sigma2 S 2 2 f dt (4.7) S2 and by plugging in 4.7 into 4.6 we get dpi ds ( f f dt t S ds sigma2 S 2 2 f S )dt 2 ( f )ds ( f S t sigma2 S 2 2 f )dt (4.8) S2 observing that the term ds is the only risky element to the portfolio value, we can eliminate this by setting which is satisfied if ( f S ) 0 f S (4.9) Then we have constructed a risk-free portfolio with the dynamics given in the last part of 4.8 and by a no arbitrage argument the portfolio must yield the risk-free interest rate, i.e. 14 24 dpi rpidt (4.10) Plugging the risk-free dynamics of the option value in 4.8 and the first equation 4.5 into 4.10 and rewrittin, we get the BS equation in ( f t sigma2 S 2 2 f f )dt r( S f(s, t))dt S2 S f t 1 2 sigma2 S 2 2 f f r( S f(s, t)) S2 S f t sigma2 S 2 2 f S r f S rf 0 (4.11) 2 S The derivation stipulates that in order to hedge the single option, we need to hold a quantity of the FX pair, which turns out to be the quantity f. This is the S principle behind delta hedging. Any price of a derivative with the same assumed process for the underlying as in equation 4.1 has to follow the BS equation.the equation has many solutions for the derivative price, f, where the particular price that is obtained depends on the payoff function of the given derivative. In the case of a European callput the solution is obtained in the BS formula, but for more complex payoff functions accompanied by more exotic options the analytical solution may be hard to obtain. 4.3 The Garman-Kohlhagen formula In the same year 1973 as the Black and Scholes paper was published the pricing model was quickly adjusted to include dividend paying stocks by Merton (1973). Robert C. Merton further concludes in this paper that the assumption of lognormally distributed returns and continuous trading is critical to the model. Without these, the delta hedge would not give a perfect hedge, thus making the arbitrage argument invalid. Many years later after the FX options was first listed on the Philadelphia Stock Exchange in 1982 (Exchange, 2004), the pricing model was adjusted to also be able to price FX plain vanilla options (Garman and Kohlhagen, 1983). Under similar assumptions as in Black-Scholes, that it is possible to operate a perfect local hedge between a FX option and underlying foreign exchange, Garman and Kohlhagen derive a PDE. One of the insights is that the risk-free interest rate of foreign currency r f has the same impact on the FX option price as the continuous dividend yield on the stock option. The main contribution is to combine the Black-Scholes model with the interest rate parity theory, as presented in the 15 25 beginning of this thesis. More precisely, by assuming the covered interest rate parity to hold and the underlying FX rate to follow a geometric brownian motion, the logarithmic difference between the forward, F (t, T ), and the spot, S(t), FX rates can be explained by the spread between the domestic risk-free interest rate, r d, and the foreign risk-free interest rate, r f. The resulting pricing formula for a call option in equation 4.12 is presented in its forward rate form, where the forward rate is explicitly present in the formula. This is a Black model (Black, 1976) (adjusted to price FX options), which is a variation of the original BS model and can be generalized into a class of models known as log-normal forward models. The adaption of the covered interest rate parity into the option pricing formula becomes apparent when we compare the calculation of the forward rate in Equation 4.12 to Equation 3.2. c e rd (t,t )tau) F (t, T )phi(d 1 ) Kphi(d 2 ) (4.12) d 1 F (t,t ) ln( ) 1 K 2 sigma2 tau sigma tau d 2 d 1 sigma tau F (t, T ) S t e rf (t,t )tau e rd (t,t )tau with the the equivalent spot rate form of the Garman-Kohlhagen formula c S 0 e rf (t,t )tau phi(d 1 ) Ke rd (t,t )tau phi(d 2 ) (4.13) d 1 ln( S 0 K ) (rd (t, T ) r f (t, T ) sigma2 )tau sigma tau d 2 d 1 sigma tau The foreign and domestic interest rates are risk-free and constant over the term of the option s life. All interest rates are expressed as continuously compounded rates Implied Probability Density Functions In order to establish a link between the observed option prices in the market and the characteristic shapes of the volatility surface we mention the implied risk-neutral density function (RND). 16 26 The RND in the Black-Scholes model is assumed to be lognormal with mean (r d r f v 2 2)(T t) and variance v 2 (T t). The price of an undiscounted call option is given by C(S 0, K, T ) Emax (4.14) K (s K) phi(s T, S 0 )ds (4.15) where phi(s T, S 0 ) in (4.15) is the probability density function of S T. This is a general pricing formula independent of the choice of pricing model. Pricing an option in this framework requires the knowledge of the probability density function, which is the distribution of the future spot prices. (Breeden and Litzenberger, 1978) found that provided a continuum of European call options with same maturity and a strike range going from zero to infinity written on a single underlying FX pair, we can recover the RND in a unique way by differentiating (4.15) with respect to K twice Risk-neutral valuation C K phi(s T, S 0 )ds (4.16) K 2 C K phi(s T, S 0)ds (4.17) 2 Another approach to find the price of a derivative is by risk neutral valuation or equivalently by the Martingale approach. The equivalence between the PDE approach and the risk neutral valuation is guaranteed by Feynman-Kac by establishing a link between PDEs and stochastic processes. The solution to the Garman-Kohlhagen equation can also be expressed in terms of an expectation. By the Feynman-Kac theorem we have V (S t, t) E Q e T t rs dds V (S T, T ) (4.18) where S t is the solution to the SDE (4.1) with micro r d r f. The drift is risk neutral and consists of the continuously compounded domestic interest rate net of the foreign interest rate. What (4.18) says is that the value of a contingent claim (a claim that is dependant on the underlying value) like a European option, can be calculated by finding the risk neutral expectation of the discounted terminal payoff. The terminal payoff is discounted by the domestic interest rate and the risk neutral 17 27 expectation and the Q measure involves the process of S T to evolve not as original but risk neutrally. To recapitulate the general pricing framework above, there is a connection between the existence of a replication portfolio replicating the final value of the option, and the existence of a equivalent martingale measure. They both guarantee an arbitrage-free price. This can be calculated as the current value of the replication portfolio, or as the expected value of the discounted terminal payoff of the option calculated under the risk-neutral probability measure. 4.4 Simulation of the Black-Scholes model We consider the risk neutral process in Equation (4.19) and compute the risk neutral expectation of the terminal payoff as suggested by the Feyman-Kac theorem. ds t (r d t r f t )S t dt sigma t S t dw (4.19) 18 28 5 Empirical facts 5.1 The distribution of FX returns Empirically we observe a departure from the normality assumption in the Black- Scholes model when we have a look at the distribution of log returns on EURUSD and USDJPY. In figures 5.1 and 5.2 the frequency distributions of two samples of daily log returns from 162006-532011 is pictured. A lognormal distribution with the same mean and standard deviation as the implied distribution is depicted by the solid line. The empirical distributions are highly peaked compared to the normal distribution. Furthermore from figures 5.3 and 5.4, which depict a Q-Q plot of the log returns vs. a normal distribution, we can observe that the empirical distributions of log returns does in fact exhibit fat tails and clearly deviates from the normality assumption. From the visual evidence of a highly peaked and fat tailed distribution (leptokurtic), we can conclude that small and large movements in the empirical samples occur more likely compared to normally distributed log returns. By looking at figures 5.5 and 5.6, where we plot the daily log returns of EURUSD and USDJPY, we see that large moves follow large moves (both up and down) and small moves follow small moves (both up and down). This is the so-called volatility clustering, where we observe that high and low volatility is clustered around certain time periods. This observation indicates autocorrelation, which is confirmed in Figures. -. Here the autocorrelations of absolute returns are estimated where all lags included is significantly positive. In addition to this, Figures 5.9 and 5.10 demonstrates mean reversion in the log returns by showing how volatility evens out when measured over a longer horizon. 19 29 Sample frequency Daily log- return EURUSD Sample frequency Daily log- return USDJPY Figure 5.1: Empirical sample frequency for EURUSD Figure 5.2: Empirical sample frequency for USDJPY 0.04 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal 0.06 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal Quantiles of Input Sample Quantiles of Input Sample Standard Normal Quantiles Standard Normal Quantiles Figure 5.3: Q-Q plot for EURUSD Figure 5.4: Q-Q plot for USDJPY Daily log return 0.06 EURUSD Year Daily log return 0.06 USDJPY Year Figure 5.5: Daily log returns for EU- RUSD Figure 5.6: Daily log returns for USD- JPY Sample Autocorrelation Function Sample Autocorrelation Function Sample Autocorrelation Sample Autocorrelation Lag Lag Figure 5.7: RUSD Autocorrelation for EU- Figure 5.8: Autocorrelation for USD- JPY 20 30 Historic vola,lity 0.3 EURUSD Year 3 month 1 year Historic vola,lity 0.35 USDJPY Year 3 month 1 year Figure 5.9: Rolling historic volatility for EURUSD Figure 5.10: Rolling histori c volatility for USDJPY Jarque-Bera To confirm our results and to find further evidence against the normality assumption underlying the Black-Scholes model we make use of the Jarque-Bera test (Jarque and Bera, 1987). Based on the sample kurtosis and skewness we test the null hypothesis that the data is drawn from a normal distribution. The null hypothesis is a joint hypothesis of the skewness being 0 and the excess kurtosis being 0, which in the latter case is the same as a kurtosis of 3. The overall conclusion by looking into tabel 5.1, when considering the full sample of log returns, is that we clearly reject the null hypothesis, that the sample data is from a normal distribution, in both the EURUSD and USDJPY case. This conclusion comes with a high degree of certainty with a significance level below 0.1. When we then have a look at the separate years considering first the EURUSD, we are able to reject in 3 out of 6 years at a significance level of 5.0, whereas for the USDJPY case this is 4 out of 6 years. When looking into the estimates of the overall skewness and kurtosis and comparing the two pairs, one observes that in terms of skewness the EURUSD deviates the most from a normal, whereas in terms of kurtosis it is the USDJPY that deviates the most from the normal. These differences in skewness and kurtosis between the two pairs is somewhat visual in figures 5.1 and 5.2 from before. Comparing the tails of the frequency distributions one might see that the EURUSD log returns has a longer right tail exhibiting more positive skewness whereas the USDJPY log returns has a longer left tail exhibiting more negative skewness (Even though apparently not enough for the full sample to be negatively skewed). Both distributions though are on an overall scale slightly positively distributed meaning that most values are concentrated on the left of the mean, with extreme values to the right (as opposite to negatively skewed distributions, where most values are concentrated on the right of the mean, with extreme values to the left). The difference in the kurtosis of the two pairs of log returns is also somewhat visual from the figures 5.3 and 5.4 from before, where the USDJPY 21 31 EURUSD Table 5.1: Jarque-Bera test on normality USDJPY period skewness excess kurtosis JB sign. level skewness excess JB sign. level gt lt 0.100 lt 0.100 lt 0.100 gt lt 0.100 gt lt 0.100 lt 0.100 log returns seems to exhibit the most kurtosis. The test statistic JB is defined as JB n 6 (S K2 ) (5.1) where n is the number of observations, S is the sample skewness in Equation 5.2 and K is the sample excess kurtosis in Equation 5.3. S circmicro 3 circsigma 3 1 n n i1 (x i x) 3 ( 1 n n i1 (x i x) 2 ) 3 2 (5.2) K circmicro 4 circsigma 4 3 1 n ( 1 n n i1 (x i x) 4 n i1 (x i x) 2 ) 3 (5.3) 2 where circmicro 3 and circmicro 4 are the estimates of the third and fourth central moments, respectively, x is the sample mean and circsigma is the estimate of the second central moment, the variance. 22 32 5.1.2 Levene Excess kurtosis might indicate heteroscedastic returns, where homoscedastic returns is the assumption underlying the Black amp Scholes model. We therefore perform the Levene s test of homoscedatic returns, where the null hypothesis is that the variance of two successive subsamples are equal as well as the variances of all subsamples. Considering the latter we strongly reject the hypothesis that the variance in the subsamples are constant thus violating the assumption in the Black Scholes model. Comparing the individual successive yearly subsamples, in the case of the EURUSD we are able to reject in 2 out of 5 cases at a significance level of 5. In the case of the USDJPY this is 4 out of 5 cases in correspondence with the superior excess kurtosis compared to the EURUSD case. Table 5.2: Levene s test on equality of variances EURUSD USDJPY period 1 period 2 volatility 1 volatility 2 Levene sig. level volatility 1 volatility 2 Levene sig. level 6.16 0.859 7.83 9.62 1.244 13.78 0.000 9.62 16.18 0.000 12.03 9.691 16.18 12.68 1.659 11.76 12.68 10.36 2.458 9.85 7.890 10.36 9.87 0.000 23 33 6 The Heston model The most well-known and popular of all stochastic volatility models is the Heston model (Gatheral, 2006) and was presented in (Heston, 1993). 6.1 The process The process followed by the underlying asset in the Heston model is with ds t micros t dt v t S t dw (1) t (6.1) dv t kappa(v t theta)dt eta v t dw (2) t (6.2) dw (1) t dw (2) t rhodt where kappa is the rate of reversion of v t to the long run variance, theta, eta is the volatility of volatility and rho is the correlation between the two stochastic increments of the processes dw (1) t and dw (2) t. The process of the underlying in (6.1) is the same process assumed in the Black Scholes model presented in (4.1) only now the volatility is stochastic. That is, another random factor is introduced by dw (2) t. What defines the specific process of the underlying in the Heston model compared to the general case of stochastic volatility models is dv t alpha(s t, v t, t)dt etabeta(s t, v t, t) v t dw (2) t (6.3) alpha(s t, v t, t) kappa(v t theta) beta(s t, v t, t) 1 24 34 where the process followed by the instantaneous variance, v t, can be categorized as a version of the square root process (CIR) in (Cox, Ingersoll Jr, and Ross, 1985). Given that the Feller condition in equation (6.4) is satisfied the variance process is always strictly positive. (Anderson, 2005) shows that this condition is often violated when calibrating the Heston model to market data. 2kappatheta eta 2 (6.4) What makes the Heston stochastic volatility model stand out from other stochastic volatility models can be adressed to two reasons. First, the volatility process is non-negative and mean reverting which is what we observe in the market. Secondly, The Heston model has a semi-analytical closed form solution for European option, which is fast and relatively easy to implement. The closed form solution is especially useful when calibrating the parameters in the model to the observed vanilla option market. This efficient computational ability of the model is characterised as the greatest advantage of the model over other potentially more realistic SV models (Janek, Kluge, Weron, and Wystup, 2010). Furthermore, after adapting the model to a FX setting, the model is described as being particular useful in explaining the volatility smile found in FX markets often characterised by a more symmetrical smile when comparing to equity markets where the structure is a strongly asymmetric skew as a consequence of the leverage effect on these markets(janek, Kluge, Weron, and Wystup, 2010). 6.2 The solution The PDE of the Heston model can be derived using the same approach as when we derive the PDE for the BS model where standard arbitrage arguments is used. In addition to the replication portfolio used to derive the BS model another asset in the form of an option is added in order to hedge the randomness introduced by the stochastic volatility. The following PDE can then be derived V t vs2 2 V S 2 rhoetavs 2 V v S eta2 v 2 V v 2 V rs S rv V v 0 (6.5) where lambda(s, v, t) is the market price of volatility risk. The closed-form solution of a European call option on an FX pair for the Heston model is S t P 1 Ke (r d r f )(T t) P 2 (6.6) 25
Trading-strategy-with-candlesticks
Manila-forex-tk